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2010 年度 自己評価報告書

カペリ型恒等式とリー環の普遍包絡環の研究

研究課題

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研究課題/領域番号 20740020
研究種目

若手研究(B)

配分区分補助金
研究分野 代数学
研究機関鹿児島大学

研究代表者

伊藤 稔  鹿児島大学, 理工学研究科(理学系), 准教授 (60381141)

研究期間 (年度) 2008 – 2011
キーワードテンソル代数 / カペリ恒等式 / dual pair / 普遍包絡環 / 量子展開環
研究概要

本研究の目的はカペリ恒等式を手がかりに普遍包絡環、またdual pairなどの無重複表現における精密な構造を明らかにすることである。リー環の普遍包絡環は表現論において非常に重要であるが、その具体的な構造については一般にはまだ十分明らかになっている訳ではない。しかし一般線型リー環の場合にはカペリ元(さらにそれを一般化したquantum immanant)という普遍包絡環の中心元が知られており、具体的な問題も満足のできるレベルで解決できる。本研究の目的はこれら一般線型リー環に関する精密な結果を他のリー環に拡張することである。さらにこの代数と微分作用素のq類似を構成した。この枠組みは一般線型リー環上の量子展開環の表現を調べるのに利用できる。例えば、この量子展開環とIwahori-Hecke代数との双対性も簡潔に証明できる。
近年、古典リー環の場合の研究はかなり進んだが、まだ一般線型リー環以外のquantum immanantについてはほとんどわかっておらず、これが本研究の大きな目標ということになる。過去の研究で行列式は直交リー環と、パーマネントはシンプレクティック リー環と相性が良いという謎めいた現象が見られた(表現に関してもこのような相性の良し悪しがある)。似たような奇妙な双対性はある種のシューア型函数にも見られる。これらの現象は最終的にはいろいろなリー環におけるquantum immanantの性質という形で解決されるべきである。現時点ではOkounkovとOlshanskiによって研究のとっかかりが得られているだけで、その具体的な記述やそれに対応するカペリ型恒等式などはほとんど解明されていない。これを攻略するための効果的な武器として、テンソル代数と無限対称群を融合した代数が有効利用できるのではないかと考えている。

  • 研究成果

    (10件)

すべて 2010 2009 2008

すべて 雑誌論文 (5件) (うち査読あり 4件) 学会発表 (5件)

  • [雑誌論文] テンソル代数上の微分のq類似とqSchur-Weyl双対性2010

    • 著者名/発表者名
      伊藤稔
    • 雑誌名

      京都大学数理解析研究所講究録 Vol .1722

      ページ: 90-96

  • [雑誌論文] On extensions of the tensor algebra, Casimir Force, Casimir Operators and the Riemann Hypothesis.2010

    • 著者名/発表者名
      Minoru Itoh
    • 雑誌名

      Mathematics for Innovation in Industry and Science(edited by Gerrit van Dijk and Masato Wakayama DE GRUYTER ISBN 978-3-11-022612-6

      ページ: 135-145

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Two permanents in the universal enveloping algebras of the symplectic Lie algebras2009

    • 著者名/発表者名
      Minoru Itoh
    • 雑誌名

      International Journal of Mathematics Vol.20, No.3

      ページ: 339-368

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Schur type functions associated with polynomial sequences of binomial type2009

    • 著者名/発表者名
      Minoru Itoh
    • 雑誌名

      Selecta Mathematica(N.S.) Vol.14, No.2

      ページ: 247-274

    • 査読あり
  • [雑誌論文] 二項型多項式列に付随するシューア型函数と普遍包絡環の中心元の固有値2008

    • 著者名/発表者名
      伊藤稔
    • 雑誌名

      数理解析研究所講究録別冊 B7

      ページ: 157-176

    • 査読あり
  • [学会発表] Extensions of the tensor algebra and their applications2010

    • 著者名/発表者名
      Minoru Itoh
    • 学会等名
      Workshop on Invariant Theory and Related Topics
    • 発表場所
      Inha University, Korea
    • 年月日
      20100217-19
  • [学会発表] On extensions of the tensor algebra,Forum "Math-for-Industry" Casimir Force2009

    • 著者名/発表者名
      Minoru Itoh
    • 学会等名
      Casimir Operators and the Riemann Hypothesis
    • 発表場所
      Kyushu University
    • 年月日
      2009-11-11
  • [学会発表] テンソル代数の拡張とその応用2009

    • 著者名/発表者名
      伊藤稔
    • 学会等名
      第54回代数学シンポジウム
    • 発表場所
      明治大学
    • 年月日
      2009-08-06
  • [学会発表] Extensions of the tensor algebra and their application to immamants,JSPS-RFBR Workshop2008

    • 著者名/発表者名
      Minoru Itoh
    • 学会等名
      Harmonic Analysis on Homogeneous Spaces and Quantization
    • 発表場所
      Derzhavin Tambov State University, Russia
    • 年月日
      2008-09-26
  • [学会発表] Extensions of the tensor algebra and their application to Schur-Weyl type dualities,JSPS-RFBR Workshop2008

    • 著者名/発表者名
      Minoru Itoh
    • 学会等名
      Harmonic Analysis on Homogeneous Spaces and Quantization
    • 発表場所
      Tambara Institute of Mathematical Sciences, The University of Tokyo
    • 年月日
      2008-08-28

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公開日: 2012-03-09   更新日: 2016-04-21  

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