| 研究課題/領域番号 |
20K03559
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| 研究機関 | 香川大学 |
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研究代表者 |
高野 啓児 香川大学, 教育学部, 教授 (40332043)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 対称空間 / 相対尖点表現 / 放物誘導表現 / 安定放物部分群 / 分裂放物部分群 |
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| 研究実績の概要 |
本研究は局所体上の対称空間に付随した「相対尖点表現」の系統立てた構成法を探求するものである。このクラスの表現は対称空間に付随するすべての既約表現のいわば building block となるものであり、対称空間の調和解析における基本構成単位とも捉えられる重要なクラスであるが、既知の実例は少ない。本研究は相対的楕円トーラスと関係した特殊な対合安定放物部分群からの誘導表現によって通常尖点的でない相対尖点表現の新しい系列を組織的に提供しようとするものである。計画初年度にこの方向で、一般線型群の内部対合およびガロア対合の場合で得られた研究成果を発表した。2年目、3年目の課題は同様の手法を一般線型群の斜交・ 直交・ユニタリ対合の場合に適用することであった。対合の同値類分類が基礎体の影響で複雑となることもあり、まずはできるだけ簡潔に処理できる具体例（偶数次元の特定の形式で定まる場合）に絞って探ったものの、Siegel型放物部分群からの１種類の系列しか得られず、これは斜交対合では発見済みのものであって本質的には新たな成果とは言い難い。
通常尖点的でない相対尖点表現はこの一系列に限られるという可能性もある。計画初年度にはまた、「対合分裂な放物部分群からの誘導はジェネリックには相対尖点的にならない」という一般的な定理を発表できており、この成果を用いて相対尖点的でないと判定できる誘導表現のクラスを調べ上げる研究も行ったが、判定不能な例外箇所の状況を明らかにできず、成果は部分的なものにとどまっている。
成功した例とともに、直面しているこれらの困難とそれに対するアプローチの現状について、2022年12月の「大阪大学整数論・保型型式セミナー」で発表した（口頭発表、60分）。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本研究の課題は、一般線型群の斜交・直交・ユニタリ対合で定まる対称空間に付随する非尖点的な相対尖点表現の系統立った構成である。これをある種の楕円トーラスと結びついた対合安定放物部分群からの誘導として得ようとしている。まずはこれらの対称空間で、対合安定な放物部分群とそのレヴィ部分群につくられる対称空間のリストアップ、誘導の際に付加されるレヴィ部分群の指標の計算などは遂行できた。次いで実際に相対尖点表現を与えるクラスの絞り込みを、ある種の楕円型トーラスとの関係から調べられるものと期待したが、偶数次元では本質的には既知の一系列だけ、奇数次元では候補が消失してしまうことがわかった。非尖点的な相対尖点表現がその一系列に限られる、あるいは存在しないと判定できるなら、それはまた別の意味を持つ重要な結果となる。その可能性を視野に入れて調べることが必要となった。
2017年のOffenによる研究で、対称空間に寄与する放物誘導を絞り込む手法が得られている。これを応用し、取り上げている具体的な対称空間で該当する放物誘導をリストアップすることも可能と思われる。一方で計画初年度に得られた成果により、分裂放物部分群からの誘導はジェネリックには相対尖点的でないと判定できる。これらを用いて、対称空間に寄与する放物誘導の「色分け」を試みた。具体的に4次元一般線型群での斜交対合、内部対合において詳しく状況を調べたが、これら低次元の場合でも判定不能な例外が残ってしまい完了できておらず、進捗は遅れていると言わざるを得ない。
なお、本年度も特に前半のあいだはコロナ禍の影響で研究集会への参加、研究打ち合わせの実施が不可能となっていた。このために予定していた情報交換の機会が作れなかったことも進捗の遅れの原因のひとつである。
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| 今後の研究の推進方策 |
コロナ禍の影響による研究の遅れがあったため、本研究計画は１年間の延長を申請し認められた。次年度も引き続き、一般線型群の斜交・直交・ユニタリ対合が定める対称空間に付随した相対尖点表現の構成法と分類を探る。残っている課題は、主候補の一系列以外の安定放物部分群からの誘導にも相対尖点表現があるかどうか、あるいはどれも相対尖点的でないと判定できるかどうか、である。Offen の研究成果を用いてまずは対称空間に寄与する放物誘導すべてのリストアップを試みる。そこから分裂放物誘導と結び付けられるものを除外して相対尖点表現の分類を目指す。これらを偶数次元の一般線型群の斜交・直交・ユニタリ対合で完遂したい。関連して、分裂放物部分群の共役類、安定放物部分群との関係（共役や包含）についてより深い知識が必要となるので、そうした構造論的な側面も視野に入れて探究したい。
奇数次の一般線型群での直交、ユニタリ対合においては、非尖点的で相対尖点的なものが存在しないとの結論も予測される。このある意味で極端な状況は対称空間の何らかの構造的特徴の反映であることも予想される。具体的には、「相対楕円トーラスを含む極大楕円トーラスの存在」との関係である。一般的な簡約群で放物部分群の分裂性と安定性の関係、楕円型分裂トーラスの配置の可能性なども考察の対象として、構造論と表現論との関連も探りたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナ禍の影響により、計画していた研究打ち合わせ・情報収集のための出張が不可能な状態が続いた。その間、出席を予定していた研究集会も対面実施がなく、旅費支出が全くできない期間が続いた。本年度も特に前半はこのような状態が続き、旅費支出が進まない状態であった。これが次年度使用額の生じた理由である。 次年度は可能な範囲で研究打ち合わせ・情報収集のための出張(京都大学、大阪大学等での定期セミナーなど)の機会を多く作れればと考えている。また対面開催の研究集会が大半となっており、数理解析研究所(京都)などでの研究集会への参加が可能であれば、これにも追加的な旅費支出を考えている。
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