|
本研究では、非線形放物型方程式に対して、解の挙動と定常問題の解構造および自己相似性との関連性について考察を行った。とくに Sobolev 優臨界および Sobolev 臨界の場合において、特異定常解および自己相似解の構造を明らかにするとともに放物型方程式の解の振る舞いに及ぼす影響を考察した。
今年度は，非線形放物型偏微分方程式の前方自己相似解および後方自己相似解の形状関数に起因する楕円型偏微分方程式の特異解について考察を行った。この研究では，楕円型偏微分方程式に表れる重み関数とともに線形項を一般化した方程式を考え、その特異解の存在と一意性および多重存在を優 Sobolev 臨界・Sobolev 臨界・劣 Sobolev 臨界の場合について考察を行った。優 Sobolev 臨界の場合には，特異解が高々一意であること，重み関数と線形項が，ある関係を満たすときに特異解が存在することを示すことができた。一方、Sobolev 臨界の場合には，ある特異解との交点数が無限個の特異解は，その特異解に限定されるという Liouville 型の結果を得ることができた。さらに，劣 Sobolev 臨界の場合には，特異解が無限個存在すること，それらの特異解は同一の漸近的性質をもつことを示すことができた。
また，1次元 p(t) Laplace 方程式の正値解の漸近的性質について考察を行った。ここでは，主要微分項であるp(t) Laplacian が 1-Laplacian に漸近する場合を考えた。この場合には，extremal solution と呼ばれる，無限大に発散する解が存在する可能性がある。本研究では，この extremal solution が存在するための必要条件，十分条件をそれぞれ調べるとともに，extremal solution の漸近的挙動を考察した。
|
