2023 年度研究成果報告書

ソボレフ臨界超臨界の非線形偏微分方程式の解析

研究課題

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研究課題/領域番号	20K03706
研究種目	基盤研究(C)
配分区分	基金
応募区分	一般
審査区分	小区分12020:数理解析学関連
研究機関	津田塾大学
研究代表者	菊池弘明津田塾大学, 学芸学部, 教授 (00612277)
研究期間 (年度)	2020-04-01 – 2024-03-31
キーワード	定在波 / 基底状態 / 閾値解 / 分類 / モース指数 / 非退化性
研究成果の概要	一つ目の成果は、シリンダー上の非線形シュレディンガー方程式の定在波の存在についてである。それまでは、定在波が存在するためには、べき型非線形項の指数に制限があったが、その制限を外した。二つ目の成果は、二重べき非線形シュレディンガー方程式の基底状態についてである。この方程式は、臨界振動数があり、それを境に基底状態の存在・非存在が分かっていたが、ちょうど臨界のときは不明であった。そこで、爆発解析という手法を用いて、この場合は存在することが分かった。三つ目の成果は、二重べき非線形シュレディンガー方程式の解の大域挙動である。基底状態と同じエネルギーを持つ解の大域挙動を初期により分類出来た。
自由記述の分野	非線形偏微分方程式
研究成果の学術的意義や社会的意義	シリンダー上の非線形シュレディンガー方程式の定在波の存在で用いた手法は、他の方程式にも応用が期待できるため、汎用性があるものと思われる。二重べき非線形シュレディンガー方程式の基底状態の存在・非存在については、これまでみられなかった現象が起きることを証明でき、学術的に興味深い。最近では、対応する楕円型方程式の正値解を分類することも出来、今後も進展が期待される。二重べき非線形シュレディンガー方程式の解の大域挙動に関しては、既存の手法とは異なり、one-pass theoremと呼ばれる定理を用いて証明した。この定理が成立すれば、一般の非線形項に対して同様の結果を得られることが期待出来る。