量子化と双対性が示唆する幾何学の研究

2023 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 20K20877
• 研究種目: 挑戦的研究(萌芽)
• 配分区分: 基金
• 審査区分: 中区分11:代数学、幾何学およびその関連分野
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 加藤 晃史 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10211848)
• 研究期間 (年度): 2020-07-30 – 2024-03-31
• キーワード: クラスター代数 / 箙変異 / 分配級数 / 量子不変量 / ペンタゴン関係式 / 指標公式 / 量子ダイログ / 保型性

研究成果の概要

箙とその変異は，さまざまな分野に現れる共通構造として注目を集めていて，箙の変異列の不変量を数学的に厳密に解析する手段の開発が必要となった．私は寺嶋郁二氏(東北大学)と共同で、箙変異の列γに対し、分配級数 Z(γ) と呼ばれる母関数を定義した。その特徴は、(1)γの反転操作や巡回シフトのもとで不変 (2)γの変形に対し量子ダイログと同様なペンタゴン関係式を満たす．(3)ディンキン図形に対し coset 共形場理論の指標に一致し保型性を持つ．(4)reddening 列に対し、組み合わせ論的 DT 不変量と一致する。現在は分配級数の考え方を発展させ，３次元多様体の量子不変量との関係を研究中である。

自由記述の分野

数理物理学

研究成果の学術的意義や社会的意義

学問が専門化し細分化が進むと，分野間の共通構造が見えづらくなる．我々が提唱する分配級数は，有向グラフや貼り合わせのような組合せ論的データのみから定義され、具体的対象の設定やモデルの詳細には依らない．ちょうど遺伝子が生物種を比較するときに役立つように，分配級数も，数学や物理学の諸分野にまたがる双対性（共通の性質）を追究する上で役立つことが期待される。