2次元結び目とYang-Millsゲージ理論について

2023 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 20K22319
• 研究種目: 研究活動スタート支援
• 配分区分: 基金
• 審査区分: 0201:代数学、幾何学、解析学、応用数学およびその関連分野
• 研究機関: 京都大学 (2023); 国立研究開発法人理化学研究所 (2020-2022)
• 研究代表者: 谷口 正樹 京都大学, 理学研究科, 助教 (30880520)
• 研究期間 (年度): 2020-09-11 – 2024-03-31
• キーワード: 2次元結び目 / Seifert超曲面 / Yang-Millsゲージ理論 / インスタントンFloer理論 / コンコーダンス / Froyshov不変量 / 特異インスタントン理論 / 結び目群のSU(2)表現

研究成果の概要

本研究では, 2次元結び目のSeifert超曲面と結び目群の関係をYang-Millsインスタントンゲージ理論を用いて調べることがその主題であった. その主要な道具として, ホモロジー3球面に対してYang-Millsインスタントンゲージ理論を用いて定義される不変量 r_sの, 結び目, および3次元多様体の1-parameter族に対する一般化を定式化した. これらを用いた数々の応用が主な研究成果である.

自由記述の分野

インスタントンゲージ理論と２次元結び目

研究成果の学術的意義や社会的意義

インスタントンゲージ理論を４次元トポロジーに応用する動きは, Donaldsonによって始められ,現在までの間に多くの研究がある. 一方で, 主にアメリカで発展したHeegaard Floer理論では不変量の計算や応用の幅の広さに目を見張るものがあり, インスタントンFloer理論では現在回復不能なものが多くある. 一方で申請者は2次元結び目の補空間の基本群というより幾何的な対象を定量的に扱う, インスタントンFloer理論ならではの手法を進めてきた. 現在そのようにして得られている結果の他の理論を用いた別証明はなく, 4次元トポロジーへの寄与を大きいと考えられる.