| 研究概要 |
約数関数d(n)のxまでの和から生する誤差項Δ(x)及びその2乗を係数とするディリクレ級数を考え,それらの解析接続,極の位置,留数などを決定した.更にΔ(x)の2乗平均に関するラウとツァンの有名な結果との比較をおこなった.またd(n)Δ(n)を係数とするディリクレ級数についても解析的な性質を調べた.その応用として従来扱うことのできなかった多重ゼータ関数に対して,絶対収束域を超えて接続できることなどを証明した.これは大きな成果であった.またΔ(x)の変形メリン変換ともいえる積分の具体的な形を,平均値定理を使わない初等的な議論によって導いた.入っている複素パラメータがある領域にあるときは積分は発散する.そこでxまでの有限積分を考え,xに関する挙動を詳細に調べた.それを解析するために,2つの周期的ベルヌーイ関数の積を被積分関数とするような積分について新しい評価式を導出した.これは次に述べるチャウラ-ワールムの和とも関運していて非常に興味深く,今度の研究に大いに有用であると思われる.
チャウラ-ワールムの和はディリクレの約数問題と深い関係にある.我々はチャウラ-ワールムの和に対してヴォロノイ型の表示を導出し,それを用いてチャウラ-ワールムの和の2乗平均の漸近式を得ることができた.これは従来知られていた上からの評価を改良したものであり,チャウラ-ワールムの予想が平均的には成立していることを示すものである.またその応用として,Δ(x)の2乗平均の簡単な証明を与えた.
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