研究課題
結び目のアレクサンダー加群は、結び目補空間の基本群の交換子群の可換化により得られる。ここで、係数環はローラン多項式環である。結び目の中西指数はアレクサンダー加群の生成元の最小数のことで、結び目の馬-邱（Ma-Qiu）指数は基本群の交換子群を正規に生成する元の最小数である。このことから中西指数は馬-邱指数以下であることがわかる。馬-邱指数は結び目解消数以下であることが知られているため、結び目解消数決定問題に、少なくとも中西指数よりは有効である。ただ群は加群より扱いが難しいため、馬-邱指数を直接決定することは一般に難しい。トーラス結び目や2橋結び目のように、馬-邱指数も中西指数も1になる場合を除き、両指数間に等号成立する系列は知られていなかった。今回ファイバー結び目に対して両指数の等号性を示すことができた。実際は両指数とも、群とその正規部分群の対に対して定義を与え、その正規部分群が剰余可解である時に等号成立することを示した。逆はまだわからない。群が剰余可解とは、全ての高次の交換子群の交わりが自明のときをいう。ファイバー結び目の基本群の交換子群は自由群であるため、定理の前提条件を満たし、両指数の等号性が系として得られる。今後は両指数の不等号性に関する結果を得たいと考えている。上に書いたように、群を直接調べるのは困難なので、加群の手法を用いるのが常道だが、高次の交換子群の交わりがその手法の限界を示していると思われる。以降表現論の手法に委ねるのもよいが、それに移る前に根本的な所を考察しておくのは意義があると感じる。
3: やや遅れている
上記中西指数と馬-邱指数の等号性の結果は、結果としては満足できるものであるが、自分としてはもっと精力的に結果を出していきたい想定があったので、やや遅れていると感じている。
研究の進捗はやや遅れているとは感じているものの、進展のきっかけは掴めたとも感じているので、今後研究を進めていけると感じている。今回は高次の交換子列を用いたが、中心化列を用いた研究がよく知られているので、その辺りの手法と照らし合わせて研究を発展させることも考えている。
コロナ禍のため自身の出張を含む、直接対面の研究交流ができなかったため、旅費や人件費・謝金としての使用があまりできなかった。次年度は直接対面の研究交流の機会を増やすことができるため、使用できると考える。
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Journal of Knot Theory and Its Ramifications
巻: 32, No.03 ページ: 2350022
10.1142/S0218216523500220
