| 研究課題/領域番号 |
21K13816
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| 研究機関 | お茶の水女子大学 |
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研究代表者 |
篠田 万穂 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 助教 (50880077)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| キーワード | エルゴード理論 / 記号力学系 / 熱力学形式 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は，二次元記号力学系において準周期的な力学系と関連した相転移の具体例を構成することを通じて，そのメカニズムを明らかにすることである．当該年度ではまず二次元記号力学系に置いて，非周期性と関連した最大化測度の安定性問題に取り組んだ．最大化測度は逆温度でパラメータ化された平衡測度の温度零の極限として現れる測度であり，それを調べることが本研究の目的を達成する手がかりになると考えてからである．２次元記号力学系における最大化測度の安定性については，非周期的な力学系の典型例であるRobinson タイリングと関連する関数の摂動に関する結果が知られているだけである．Robinson タイリングはエルゴード測度をひとつしか持たないが，エルゴード的な最大化測度が二つ以上ある場合，特にKari-Culik タイリングと関連した関数の摂動について研究した．また，当該年度では区分的に拡大的な写像と関連する１次元記号力学系における周期測度の稠密性の問題にも取り組んだ．周期測度によって不変測度を近似できる状況は大偏差原理など力学系の統計的性質を導くという点で非常に重要である．不変測度の空間の構造を理解することは本研究の目的を達成する上でも大きな手がかりになることが期待される．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
最大化測度の安定性に関する具体的な成果は得られなかったものの，安定性をもたらす要因は周期測度の多さではないかという着想を得ることができたため．この着想を得るに至った区分的に拡大的な写像と関連する１次元記号力学系における周期測度の稠密性の研究は，その一部を論文として執筆中である．また，２次元の記号力学系を理解するための代数的な方法，確率論における相互作用系との関連など視野を広げた情報収集，意見交換をすることができたため．さらに，本研究の相転移と深く関連する零温度極限における非収束の問題に関する研究も論文にまとめ投稿することができた．
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き最大化測度の安定性について研究する．現在までの進捗状況でも述べた通り，２次元の記号力学系を理解するための代数的な方法，確率論における相互作用系との関連を視野入れ，専門家との意見情報交換及び技術習得を行い，最大化測度の安定性に関する具体例を得ることを目指す．
また，区分的に拡大的な写像に関する研究も継続し，不変測度の空間を理解すること，さらに最大化測度の研究の源流の一つであるAubry Mather 理論を理解することにより，相転移現象の体系的な理解につながる着想を得ることを目標とする．
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