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2021 年度 実施状況報告書

数値代数解析学の開拓 ー量子系偏微分方程式の数値解法の新展開ー

研究課題

研究課題/領域番号 21K18301
研究機関大阪大学

研究代表者

宮武 勇登  大阪大学, サイバーメディアセンター, 准教授 (60757384)

研究分担者 曽我部 知広  名古屋大学, 工学研究科, 准教授 (30420368)
研究期間 (年度) 2021-07-09 – 2026-03-31
キーワード数値解析 / 数値線形代数 / 偏微分方程式 / 二次計画問題
研究実績の概要

偏微分方程式の数値計算は,離散化を担う数値解析学と,行列方程式に帰着された後の数値線形代数学によって支えられてきた.両者はそれぞれが一つの学問領域として成熟し,多くの優れた解法が生成されてきたが,一方で,両領域間の交流は希薄になってきており,偏微分方程式の数値解法の発展の足かせになりはじめている.本研究は,一度は細分化した数値解析学と数値線形代数学を独自の視座で再融合し,特に代数学的精神で解析学を数値的に研究する新しい学理「数値代数解析学」を開拓することを目指すものである.
初年度は,偏微分方程式の数値計算の文脈でしばしばあらわれる制約(主に非負制約)付き二次計画問題に焦点を当て,数値解析学と数値線形代数学の協働により,新しいアルゴリズムである適応型射影SOR法を開発した.射影SOR法とは,連立一次方程式に対する代表的な定常反復法であるSOR法を非負制約を満たすように拡張したものだが,これまで緩和パラメータの選択に困難があった.本研究では,射影SOR法の幾何的な意味付けを明確にすることで,最適化(直線探索)の文脈でよく知られているアルミホ条件やウルフ条件を利用したパラメータ選択法を考案した.行列が半正定値行列の場合に反復アルゴリズムの収束の理論保証に不十分な点が残されているが,人工的な例だけでなく例えば画像のノイズ除去のような多くの具体例に対して,既存の解法よりも効率よく最適解を求められることが数値実験を通して確認できている.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

当初は,空間1次元の偏微分方程式の時間変数の離散化を研究する予定だったが,それについても検討は進めつつも,(研究期間内で予定していた)空間変数の離散化に関して研究を推進することができ,研究期間全体から見れば,おおむね順調に進展しているといえる.

今後の研究の推進方策

まずは,適応型射影SOR法の収束に関する理論保証が不十分な点を解決することを目指す.並行して,偏微分方程式の時間変数の離散化を念頭に,SOR法以外の前処理付きクリロフ部分空間法の中で,微分方程式の時間変数の離散化という解釈ができるものを探求する.研究の進展に応じて,高次元PDEの離散化手法についても数値多重線形代数学の観点で検討をはじめる.

次年度使用額が生じた理由

半導体不足の影響により計算機の調達が難しく,またCovid19の影響で,当初予定していた国内外の学会や研究集会への参加も難しかったため,予算の大半を繰り越すことになった.今後は,状況が改善次第,計算機等の導入を検討し,また,旅費についても次年度以降に情報収集から成果発表にウエイトを移しつつ有効に活用したい.

  • 研究成果

    (6件)

すべて 2022 2021

すべて 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 2件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (3件) (うち国際学会 1件、 招待講演 1件) 図書 (1件)

  • [雑誌論文] Computing the matrix fractional power with the double exponential formula2021

    • 著者名/発表者名
      Tatsuoka Fuminori, Sogabe Tomohiro, Miyatake Yuto, Kemmochi Tomoya, Zhang Shao-Liang
    • 雑誌名

      ETNA - Electronic Transactions on Numerical Analysis

      巻: 54 ページ: 558~580

    • DOI

      10.1553/etna_vol54s558

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Symplectic adjoint method for exact gradient of neural ODE with minimal memory2021

    • 著者名/発表者名
      Takashi Matsubara, Yuto Miyatake, Takaharu Yaguchi
    • 雑誌名

      Advances in Neural Information Processing Systems 35 (NeurIPS2021)

      巻: 35 ページ: -

    • 査読あり
  • [学会発表] 非負制約付き2次計画問題に対する適応型射影SOR法2021

    • 著者名/発表者名
      宮武勇登, 曽我部知広
    • 学会等名
      日本応用数理学会2021年度年会
  • [学会発表] 一般化近単調回帰と常微分方程式の数値計算の誤差推定2021

    • 著者名/発表者名
      松田孟留, 宮武勇登
    • 学会等名
      日本応用数理学会2021年度年会,
  • [学会発表] Computation of singular values for generalized tensor sum2021

    • 著者名/発表者名
      T. Sogabe, A. Ohashi
    • 学会等名
      The 40th JSST Annual International Conference on Simulation Technology
    • 国際学会 / 招待講演
  • [図書] 20世紀のトップ10アルゴリズム2022

    • 著者名/発表者名
      金田行雄/笹井理生【監修】張紹良【編】曽我部知広【3章】
    • 総ページ数
      360
    • 出版者
      共立出版
    • ISBN
      9784320122673

URL: 

公開日: 2022-12-28  

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