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2023 年度 実施状況報告書

拡散型非線形発展方程式に対する定量的解析

研究課題

研究課題/領域番号 21KK0044
研究機関東北大学

研究代表者

赤木 剛朗  東北大学, 理学研究科, 教授 (60360202)

研究分担者 中村 健一  明治大学, 研究・知財戦略機構(中野), 特任教授 (40293120)
松澤 寛  神奈川大学, 理学部, 教授 (80413780)
村川 秀樹  龍谷大学, 先端理工学部, 教授 (40432116)
兼子 裕大  関東学院大学, 理工学部, 講師 (40773916)
佐藤 龍一  福岡大学, 理学部, 助教 (20802599)
Cavallina Lorenzo  東北大学, 理学研究科, 助教 (40881264)
研究期間 (年度) 2021-10-07 – 2027-03-31
キーワード非線形拡散方程式 / 漸近挙動 / 定量的解析 / 発展方程式 / 関数解析
研究実績の概要

以下, (1)-(4)は交付申請書の「9.補助事業期間中の研究実施計画」で挙げた課題に対応する.
(1) 非線形拡散方程式の Cauchy-Dirichlet 問題に対する弱解が漸近形に収束するレートについて Bonforte-Figalli (CPAM 2021) が証明した結果を, 定量的勾配不等式とエネルギー法に基づく新しい手法で証明した. この結果は Bonforte-Figalli の結果に別証明を与えるだけでなく, 領域の滑らかさに関する仮定を大幅に弱めることができること, また符号変化解への適応性に於いて優位性を有している. さらに最小エネルギーをとる非退化な漸近形の指数安定性や符号変化する漸近形に収束する初期値の構成についても考察した. これらの結果は ARMA 誌から論文として発表された. またこの結果はさまざまな研究集会で発表されたが, 特に 2023.10 にマドリードで Bonforte 氏と共催した 2 つのワークショップでは, 同分野の専門家と関連する問題などについて意見交換するなど, 国際的な展開に繋がっている. Bonforte 氏とはその後, 継続的に情報交換を行っている.
(2) この課題は終了している. 期間中に派生した課題として破壊力学にまつわる準静的発展方程式について考察し, 適切性などの基本的性質や解の漸近挙動に関する結果を得た. この結果は佐藤光汰朗氏との共同研究によるものであり, すでに論文として発表されている. また Schimperna 氏を招聘し, フルシステムへの拡張について方針を立てた.
(3) 非局所非線形拡散方程式に関する研究を進め, 適切性など基本的な結果の整備を行った. Salin 氏との共同研究.
(4) 非線形拡散方程式にまつわる時空均質化問題に関する岡大将氏との共同研究の成果が論文として発表された.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

反応拡散系に現れる自由境界を伴う進行波ダイナミクスに関する課題は既に完了し, 期間中に派生した追加課題についても成果があがっている. 非線形拡散方程式の漸近形に関する定量的研究では研究計画を立てた当初にあがった課題は概ね解決し, 期間中にあらたな課題が見つかった. そちらに関しても既に予備的な研究が進んでいる. 非局所非線形拡散方程式については基礎理論が確立し, 解の漸近挙動に関する分析を進める準備が整っている. 研究期間は折返し地点にあるが, 予定通りの進捗と言える. 非線形拡散方程式にまつわる時空均質化問題に関する課題も既に完了し, 論文も発表された. このように当初予定されていた研究計画は半分以上が完了しており, 順調に研究が進展しているものと考える. またそれに伴い, 国際的な研究交流や共同研究シーズの開拓も進んでいるが, こちらに関しては予想以上の展開があった. 今後もそれらを伸ばしていくことで, 研究目的の達成が十分に期待できる状況である.

今後の研究の推進方策

非局所非線形拡散方程式の研究は 2023 年度末から既に大きく展開しており, 2024 年度中に研究成果が論文として発表できる見込みである. また解の漸近挙動の研究は局所的なケース (すなわち古典的な非線形拡散方程式) を参考に進めることができる他, 非局所性に由来する困難やそれに伴う特異な現象の解明が期待される. また古典的な非線形拡散方程式に関しても, 符号変化する弱解に対する完全な理論の拡張やここまでに得られた収束レートの最適性の証明に向けて, 重要な研究の緒が予備研究の過程で発見されており, 今後, 全面的な解決が期待される. その他, 新たに立ち上がった Schimperna 氏や Bonforte 氏との共同プロジェクトに加えて, 本研究課題の一貫で来日した研究者や研究代表者が訪問した研究者との交流をさらに深め, 新たな共同研究の模索を進めていく. 2024 年度は 9 月にイタリアと日本の合同シンポジウムをイタリアで開催することになっている. 研究分担者や研究協力者と参加し, イタリアを始めとする欧州の研究者と交流を深める予定である. さらに 12 月にはアラブ首長国連邦で開催される大型の国際シンポジウムにてセッションを共催し, 世界中から関連分野の研究者を招聘し, 当該分野の最先端に関する情報交換や研究ネットワークの拡充を図る. その他, 解の漸近挙動の定量的解析や均質化問題の定量的解析などに近年盛んに用いられるようになった偏微分方程式の解の正則性理論の調査や拡張研究に対しても投資し, 将来的に成果が見込めるよう準備を進める. 新型コロナの問題は収束しつつあるが, ロシアのウクライナ侵攻や中東の紛争によって航空運賃をはじめ物価が高騰していることもあり, 国内研究者の海外出張にはまだ制限が強い. 引き続き関連分野の研究者の海外渡航などをサポートしていきたい.

次年度使用額が生じた理由

訪問先の研究者とのスケジュールが合わず見送った出張があったため.

  • 研究成果

    (32件)

すべて 2024 2023 その他

すべて 国際共同研究 (5件) 雑誌論文 (11件) (うち国際共著 1件、 査読あり 9件、 オープンアクセス 5件) 学会発表 (10件) (うち国際学会 6件、 招待講演 8件) 備考 (2件) 学会・シンポジウム開催 (4件)

  • [国際共同研究] パヴィア大学(イタリア)

    • 国名
      イタリア
    • 外国機関名
      パヴィア大学
  • [国際共同研究] ウィーン大学(オーストリア)

    • 国名
      オーストリア
    • 外国機関名
      ウィーン大学
  • [国際共同研究] マドリード自治大学(スペイン)

    • 国名
      スペイン
    • 外国機関名
      マドリード自治大学
  • [国際共同研究] ミュンヘン工科大学/ドレスデン工科大学(ドイツ)

    • 国名
      ドイツ
    • 外国機関名
      ミュンヘン工科大学/ドレスデン工科大学
  • [国際共同研究] ロレーヌ大学/国立中央理工科学校リヨン校(フランス)

    • 国名
      フランス
    • 外国機関名
      ロレーヌ大学/国立中央理工科学校リヨン校
  • [雑誌論文] Steady States with Jump Discontinuity in a Receptor-Based Model with Hysteresis in Higher-Dimensional Domains2024

    • 著者名/発表者名
      Akagi Goro、Takagi Izumi、Zhang Conghui
    • 雑誌名

      SIAM Journal on Mathematical Analysis

      巻: 56 ページ: 1996~2033

    • DOI

      10.1137/22M1509059

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Nondegeneracy implies the existence of parametrized families of free boundaries2024

    • 著者名/発表者名
      Cavallina Lorenzo
    • 雑誌名

      Journal of Differential Equations

      巻: 383 ページ: 1~23

    • DOI

      10.1016/j.jde.2023.11.011

  • [雑誌論文] A free boundary problem of nonlinear diffusion equation with positive bistable nonlinearity in high space dimensions Ⅲ : General case2024

    • 著者名/発表者名
      Kaneko Yuki、Matsuzawa Hiroshi、Yamada Yoshio
    • 雑誌名

      Discrete and Continuous Dynamical Systems - S

      巻: 17 ページ: 742~761

    • DOI

      10.3934/dcdss.2023089

  • [雑誌論文] Rates of Convergence to Non-degenerate Asymptotic Profiles for Fast Diffusion via Energy Methods2023

    • 著者名/発表者名
      Akagi Goro
    • 雑誌名

      Archive for Rational Mechanics and Analysis

      巻: 247 ページ: 23 (38pp.)

    • DOI

      10.1007/s00205-023-01843-2

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] General framework to construct local-energy solutions of nonlinear diffusion equations for growing initial data2023

    • 著者名/発表者名
      Akagi Goro、Ishige Kazuhiro、Sato Ryuichi
    • 雑誌名

      Journal of Functional Analysis

      巻: 284 ページ: 109891~109891

    • DOI

      10.1016/j.jfa.2023.109891

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Space-time homogenization for nonlinear diffusion2023

    • 著者名/発表者名
      Akagi Goro、Oka Tomoyuki
    • 雑誌名

      Journal of Differential Equations

      巻: 358 ページ: 386~456

    • DOI

      10.1016/j.jde.2023.01.044

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Evolution equations with complete irreversibility and energy conservation2023

    • 著者名/発表者名
      Akagi Goro、Sato Kotaro
    • 雑誌名

      Journal of Mathematical Analysis and Applications

      巻: 527 ページ: 127348~127348

    • DOI

      10.1016/j.jmaa.2023.127348

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On some doubly-nonlinear parabolic equations posed in R^d2023

    • 著者名/発表者名
      Akagi Goro
    • 雑誌名

      Discrete and Continuous Dynamical Systems - S

      巻: 16 ページ: 3661~3676

    • DOI

      10.3934/dcdss.2023153

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Why are the Solutions to Overdetermined Problems Usually “As Symmetric as Possible”?2023

    • 著者名/発表者名
      Cavallina Lorenzo
    • 雑誌名

      The Journal of Geometric Analysis

      巻: 34 ページ: 1-22

    • DOI

      10.1007/s12220-023-01467-8

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Front propagation and blocking for the competition-diffusion system in a domain of half-lines with a junction2023

    • 著者名/発表者名
      Morita Yoshihisa, Nakamura Ken-Ichi, Ogiwara Toshiko
    • 雑誌名

      Discrete and Continuous Dynamical Systems - B

      巻: 28 ページ: 6345~6361

    • DOI

      10.3934/dcdsb.2022136

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] A free boundary problem of nonlinear diffusion equation with positive bistable nonlinearity in high space dimensions II: Asymptotic profiles of solutions and radial terrace solution2023

    • 著者名/発表者名
      Kaneko Yuki、Matsuzawa Hiroshi、Yamada Yoshio
    • 雑誌名

      Journal de Mathematiques Pures et Appliques

      巻: 178 ページ: 1~45

    • DOI

      10.1016/j.matpur.2023.07.004

    • 査読あり
  • [学会発表] Asymptotic profiles for fast diffusion in bounded domains2024

    • 著者名/発表者名
      Goro Akagi
    • 学会等名
      East Asia Workshop on Nonlinear Evolution Equations
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Optimal rate of convergence to asymptotic profiles for fast diffusion in domains2024

    • 著者名/発表者名
      赤木 剛朗
    • 学会等名
      深江における非線形偏微分方程式研究集会
    • 招待講演
  • [学会発表] Time-fractional gradient flow に関する最近の進展2024

    • 著者名/発表者名
      赤木 剛朗
    • 学会等名
      第 2 回目白台非線形セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] Asymptotic profiles for fast diffusion in domains (ポスター発表)2024

    • 著者名/発表者名
      Goro Akagi
    • 学会等名
      Turing Symposium on Morphogenesis, 2024 ― a Panorama in Turing's Sight ―
    • 国際学会
  • [学会発表] Optimal rate of convergence to nondegenerate asymptotic profiles for fast diffusion in bounded domains2023

    • 著者名/発表者名
      Goro Akagi
    • 学会等名
      Euro-Japanese Conference on Nonlinear Diffusion
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 特異拡散方程式の非退化な解の漸近形に対する収束レートの最適性について2023

    • 著者名/発表者名
      赤木 剛朗
    • 学会等名
      応用解析研究会 40 周年記念講演会
    • 招待講演
  • [学会発表] Evolution equations with complete irreversibility2023

    • 著者名/発表者名
      Goro Akagi
    • 学会等名
      ICIAM 2023 Tokyo, Minisymposium ``Singular Problems in Mechanics''
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Optimality of the rate of convergence to asymptotic profiles for fast diffusion2023

    • 著者名/発表者名
      Goro Akagi
    • 学会等名
      RIMS Satellite Seminar ``Homogenization and/or nonlocal operators''
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Optimal rate of convergence to nondegenerate asymptotic profiles for fast diffusion in bounded domains2023

    • 著者名/発表者名
      赤木 剛朗
    • 学会等名
      九州函数方程式セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] Rates of convergence to asymptotic profiles for fast diffusion on domains2023

    • 著者名/発表者名
      Goro Akagi
    • 学会等名
      SS65 ``Nonlinear Evolution Equations and Related Topics'' in The 13th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications
    • 国際学会
  • [備考] Website of Goro Akagi

    • URL

      http://www.math.tohoku.ac.jp/~akagi/

  • [備考] Achievements

    • URL

      http://www.math.tohoku.ac.jp/~akagi/achievement.html

  • [学会・シンポジウム開催] Workshop on Degenerate and Singular Diffusion (on Oct 10-13, 2023 at ICMAT-UAM, Madrid)2023

  • [学会・シンポジウム開催] Euro-Japanese Conference on Nonlinear Diffusion (on Oct 16-20, 2023 at ICMAT-UAM, Madrid)2023

  • [学会・シンポジウム開催] SS65 ``Nonlinear Evolution Equations and Related Topics'', The 13th AIMS International Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications2023

  • [学会・シンポジウム開催] Mini-Workshop on Nonlinear Analysis, Kawai Hall, Tohoku University (on Apr 25, 2023)2023

URL: 

公開日: 2024-12-25  

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