| 研究課題/領域番号 |
22224001
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
金銅 誠之 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (50186847)
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| 研究分担者 |
長尾 健太郎 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 助教 (10585574)
江口 徹 立教大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20151970)
伊藤 由佳理 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (70285089)
伊山 修 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (70347532)
馬 昭平 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 助教 (80633255)
菅野 浩明 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (90211870)
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| 研究期間 (年度) |
2010-05-31 – 2015-03-31
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| キーワード | 数学 / 代数幾何学 / K３曲面 / モジュライ / 保型形式 / 格子理論 |
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| 研究概要 |
(1) 研究代表者は保型形式を用いたモジュライ空間の研究を行い、射影平面の 6 直線配置のモジュライ空間の場合を中心に研究を進めた。また分担者の馬は IV 型有界対称領域の算術商で表されるモジュラー多様体の小平次元を有限個の場合を除き決定した。
(2) 研究代表者は連携研究者の島田伊知朗と共に、超特異 K3 曲面の研究を行い、特にネロン・セベリ格子のある種の双対性を見いだした。これは特別な場合の幾何学的性質から一般の場合の幾何学的性質が従うことを意味しいくつかの非自明な応用を得た。成果は国際雑誌 Algebraic Geometry に掲載予定となった。また標数 5 でアルティン不変量 1 の超特異 K3 曲面上の非特異有理曲線配置などの幾何学的性質を明らかにした。
(3) 一昨年、分担者の江口らのグループは、K3 曲面の楕円種数と散在型有限単純群の一つである次数 24 のマシュー群との関係を示唆するマシュー・ムーンシャイン現象を見いだした。江口は引き続きこの研究を進め、K3 曲面の固定点を持たない対合による商曲面として得られるエンリケス曲面の場合に、次数 12 のマシュー群との関係を見いだした。
(4) 分担者の伊藤は一般次元の特殊線形群の有限部分群が可換な場合はG-ヒルベルトスキームがグレブナ扇に付随するトーリック多様体になること，４次元の非可換な場合に対してのクレパント特異点解消の構成を行った。分担者の菅野は２重周期をもつモノポールウォール (monopole wall) の低エネルギー散乱の有効シグマ模型作用を計算し，SU(2) モノポールウォールのモジュライ空間上の漸近的ハイパーケーラー計量の具体形を決定した。分担者の伊山は、射影空間上の超平面の集合から定まるGL (=Geigle-Lenzing) complete intersection および GL projective spaceを導入し、それらのCohen-Macaulay表現論および傾理論を調べた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
・モジュライ空間の研究では、IV 型有界対称領域上の保型形式を用いた研究が進んでいる。一つは研究代表者による射影モデルの構成であり具体例が得られている。もう一つは分担者の馬によるもので、算術商の小平次元の決定である。これはアーベル多様体の場合に現れるジーゲルモジュラー多様体（III 型有界対称領域の算術商）のマンフォードによる小平次元の決定の IV 型有界対称領域版に相当する。
・格子理論を用いた K3 曲面の幾何学的研究においても成果が得られている。特に超特異 K3 曲面のネロン・セベリ格子のある種の双対性は、簡明なものでありそれゆえ応用が広い成果と考えられる。
・周辺分野の物理学との接点でもエンリケス曲面の楕円種数と散在型有限単純群の一つである次数 12 のマシュー群との関係を見いだすことができた。これはマシュー・ムーンシャインを補強するものであり、新たな研究の広がりを導く成果である。
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| 今後の研究の推進方策 |
分担者・連携研究者と随時研究連絡を取りながら進める。ここ 2, 3 年の間に超特異 K3 曲面の研究が世界的に大きく進展している。これら研究を進めている研究者を招聘し国際研究集会「K3 surfaces, Enriques surfaces and related topics」を 11 月 10 日～11 月 14 日に名古屋大学において開催（組織委員長は研究代表者）し、研究連絡と成果発表を行う。現時点で 15 名の海外からの研究者を招聘予定である。また 1 月には代数幾何学の国際研究集会が東京大学で開催されるが、研究代表者は組織委員として加わり研究連絡を進める。
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