| 研究概要 |
安定ホモトピー圏の局所的・大域的構造と数論的・代数幾何的構造との関係、特に、クロマティック赤方変移現象について理解を深めることを研究目標として、複素ボルディズム関手および形式群を用いて安定ホモトピー圏の代数的モデルや数論的構造について研究を行った。特にクロマチックレベルが一つずれているMorava K理論で局所化された安定ホモトピー圏の間の関係について調べた。
安定ホモトピー圏には1次元可換形式群の高さに対応する階層構造(クロマティック・フィルトレイション)が存在し、このフィルトレイションに関する部分商はMorava K理論K(n)に関するBousfield局所化と同値になる。したがって、安定ホモトピー圏はK(n)局所化圏を基本構成単位として、それらを積み上げた構造をしていると考えられる。このことより、まず各Morava K理論による局所化を理解し、次に各局所化間のつながり具台を調べるということがクロマティックの手法による安定ホモトピー圏の大域的構造の理解に向けた基本的な戦略といえる。クロマティック赤方偏移現象はこの各局所化間のつながり具合を反映していると考えることができ、
その理解は重要であると考えられる。
Ando,Rezk,Ganterらにより、Morava E理論の非安定作用素として、巾作用素、Hecke作用素、対称積作用素などが定義された。以前の研究ではMorava E理論E_nとE_{n+1}をつなぐ一般化Chern指標を導入し、有限スペクトラムXに対してXのE_{n+1}コホモロジーと安定作用素の情報から、XのE_nコホモロジーと安定作用素の情報を回復できることを示した。今年度の研究では、一般化Chern指標を用いて異なる高さのMorava E理論におけるこれらの作用素の間の関係を与えた。
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