| 研究概要 |
1.加藤理論の時間大域的理論への拡張について:準線形双曲型方程式が一意な時間大域解をもつと仮定するとき,解を記述する関数と準線形作用素から生じる作用素族を生成素にもつ発展作用素の存在を示し,解の一意性により,両者を結びつける等式を導出した。これを用いて,準線形双曲型方程式に附随するリプシッツ作用素半群の概念を導入したことが本研究手法の特色である。このクラスのリプシッツ作用素半群に対する積公式を,準線形作用素に課す整合性条件から生じる誤差項を許容する近似解をうまく構成し,その近似解と離散半群の差を詳細に評価することで証明した。その結果,加藤理論の時間大域的理論への拡張に成功した。2.リプシッツ作用素半群の近似理論の確立について:解の初期値に関する連続依存性に着目して導入される安定性条件を満たす近似作用素が縮小的になるような距離に似た汎関数の存在が示されている。本研究の特色は,この汎関数を利用して,作用素半群の積公式を開発する点である。(1)誤差項を許容した安定性条件を提案し,それと整合性条件のもとで,半線形発展方程式に対するリプシッツ作用素半群の積公式を開発した。(2)利用する距離に似た汎関数は,一般的には,ノルムから自然に定まる距離が備えている凸性を有しない。しかし,応用上,片側凸性を有する場合は少なくない。そこで,片側凸性を有する場合に焦点を絞り,リプシッツ作用素半群の近似定理を考察中である。3.半線形確率微分方程式に対するviabilityの考察について:微分方程式に対するviabilityの考察の歴史は,南雲の定理までさかのぼり,抽象空間におけるviabilityが考察されてきている。本研究では,確率微分方程式に対するviabilityを証明するために,その問題を発展作用素の生成の問題に翻訳し考察した。この手法が特色ある点である。AubinとDa Pratoによる有限次元の結果をヒルベルト空間の場合へと拡張することに成功した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度の研究実施計画では,[1]単調作用素,劣微分作用素により支配される発展方程式の枠組みの拡張[2]リプシッツ作用素半群の近似理論の確立と保存則系への応用(1)半線形発展方程式に付随するリプシッツ作用素半群に対する積公式の開発(2)リプシッツ作用素半群に対する積公式の開発を挙げていた。研究実績の概要で述べたように,[2]については,目的を達成できた。[1]については,着手し枠組みを設定できている。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究課題のうち,単調作用素,劣微分作用素により支配される発展方程式の枠組みの拡張が残されているテーマである。このテーマへの接近法として,劣接触条件を組み入れた安定性条件のもとで,リプシッツ作用素半群の生成定理の確立を目指したい。そのために,本年度までに得られた,半線形発展方程式,準線形発展方程式の考察で培った手法を見直し,非凸解析手法を開発しながら進めたい。応用上,安定性を表現するための汎関数の構成は重要であり,スペクトル解析による構成法も開発したい。
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