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2013 年度 実績報告書

複素領域での非線型偏微分方程式の解の特異点の研究

研究課題

研究課題/領域番号 22540206
研究機関上智大学

研究代表者

田原 秀敏  上智大学, 理工学部, 教授 (60101028)

研究期間 (年度) 2010-04-01 – 2015-03-31
キーワード偏微分方程式 / 特異点 / 形式解 / ボレル総和法 / q-差分方程式 / 複素領域
研究概要

1、非線型偏微分方程式の形式解のボレル総和法に関連する研究を行なった。形式解が形式的べき級数の場合には、大内忠によってかなり一般的な状況でそのボレル総和可能性は証明されている。しかし、形式解が特異点を含む場合には、山澤浩司による線型方程式で対数的特異点の場合に部分的な結果が知られているものの、非線型で一般の場合については、殆ど何も分かっていないのが現状である。これを解決するには、ボレル平面での合成積偏微分方程式の局所解の解析接続の問題をまず解決しなければならない。この問題についての研究を行い、幾つかの良い結果を得た。論文にまとめ、Opuscula Mathematica に投稿した。これを非線型偏微分方程式の形式解のボレル総和可能性の問題に応用することについては、来年度の研究で実行したい。
2、方程式を時間変数についてq-差分化した q-差分偏微分方程式 の形式解のボレル総和法の研究を行なった。Zhang-Ramis の開発したq-ボレル・ラプラス変換を利用すれば、線型偏微分方程式を時間変数についてq-差分化したものに対しては、よい結果が得られることが分かった。定理は、「もしも、その q-差分偏微分方程式が形式的べき級数解を持てば、それは Ramis-Zhang の意味でq-ボレル総和可能である」と述べられる。
3、更に、ボレル・ラプラス変換の q-類似において、q-ボレル変換とq-ラプラス変換の間の反転公式を証明した。これは、Zhang-Ramis の論文では未解決のまま放置されていた問題である。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

合成積偏微分方程式の解の解析接続の問題に進展が見られたために、次の課題が具体化してきたため。

今後の研究の推進方策

q-差分偏微分方程式の更なる研究には、ボレル・ラプラス変換の新しいq-類似が必要になってきた。ここの部分を集中的に研究してゆく。

  • 研究成果

    (11件)

すべて 2013 その他

すべて 雑誌論文 (7件) (うち査読あり 6件) 学会発表 (4件) (うち招待講演 4件)

  • [雑誌論文] Coupling of two singular partial differential equations and its application2013

    • 著者名/発表者名
      H. Tahara
    • 雑誌名

      RIMS Kokyuroku Bessatsu

      巻: B37 ページ: 193-202

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Nonlinear partial differential equations and logarithmic singularites2013

    • 著者名/発表者名
      H. Tahara and H. Yamane
    • 雑誌名

      RIMS Kokyuroku Bessatsu

      巻: B37 ページ: 203-209

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On existence and uniqueness theorems for singular nonlinear partial differential equations2013

    • 著者名/発表者名
      D. B. Bacani and H. Tahara
    • 雑誌名

      RIMS Kokyuroku Bessatsu

      巻: B40 ページ: 69-79

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Time regularity in Gevrey classes of solutions to general nonlinear partial differential equations2013

    • 著者名/発表者名
      H. Tahara
    • 雑誌名

      RIMS Kokyuroku Bessatsu

      巻: B40 ページ: 119-136

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Multisummability of formal solutions to the Cauchy problem for some linear partial differential equations2013

    • 著者名/発表者名
      H. Tahara and H. Yamazawa
    • 雑誌名

      Journal of Differential Equations

      巻: 255 ページ: 3592 - 3637

    • DOI

      10.1016/j.jde.2013.07.061

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On a reduction of nonlinear partial differential equations of Briot-Bouquet type2013

    • 著者名/発表者名
      H. Tahara
    • 雑誌名

      Tokyo Journal of Mathematics

      巻: 36 ページ: 539-570

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Maillet type theorem, convolution equations and multisummability of formal solutions2013

    • 著者名/発表者名
      田原秀敏&山澤浩司
    • 雑誌名

      京都大学数理解析研究所講究録

      巻: 1861 ページ: 171-182

  • [学会発表] Summability of formal solutions to the Cauchy problem for some linear partial differential equations

    • 著者名/発表者名
      H. Tahara
    • 学会等名
      Conference : Formal and analytic solutions of differential, difference and discrete equations
    • 発表場所
      Mathematical Research and Conference Center at Bedlewo (Poland)
    • 招待講演
  • [学会発表] On q-analogues of Laplace and Borel transforms by Jacobi theta function

    • 著者名/発表者名
      H. Tahara
    • 学会等名
      Japan-Polish workshop : Global study of differential equations in the complex domain
    • 発表場所
      Banach Center in Warsaw (Poland)
    • 招待講演
  • [学会発表] On q-analogues of Laplace and Borel transforms by using Jacobi theta function

    • 著者名/発表者名
      田原秀敏
    • 学会等名
      研究集会「代数解析学と局所凸空間」
    • 発表場所
      日本大学駿河台キャンパス
    • 招待講演
  • [学会発表] q-Analogue of the summability of formal solutions of some linear q-difference equations

    • 著者名/発表者名
      田原秀敏
    • 学会等名
      研究集会「広島大学微分方程式セミナー:漸近解析とボレル総和法」
    • 発表場所
      広島大学東広島キャンパス
    • 招待講演

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公開日: 2015-05-28  

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