| 研究課題/領域番号 |
22540231
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| 研究機関 | 宮崎大学 |
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研究代表者 |
大塚 浩史 宮崎大学, 工学部, 准教授 (20342470)
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| 研究期間 (年度) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | 関数方程式論 / 関数解析学 / 応用数学 / 数理物理 / 変分法 / 点渦 / 渦点 / 平均場 |
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| 研究概要 |
「平衡点渦系の平均場は点渦系の何を表現し得るのか」、これを明らかにすることを目標に、平衡点渦系の平均場の空間的構造、並びに、平均場を与える自由エネルギー汎関数の無限次元空間におけるグラフの構造の解析、特に、これらの構造を、有限次元系である点渦系のハミルトニアンと関連づけて解明することが目的である。
今年度、Gladiali-Grossiによるゲルファント問題の解のモース指数の評価を、多点爆発の場合を含める形で完全に拡張することができた。この結果は、ゲルファント問題の線形化固有値問題の固有値の挙動を詳細に調べることで得られたが、爆発点を特徴付ける点渦系のハミルトニアンを用い、そのモース指数によりゲルファント問題の解のモース指数を評価した。
ゲルファント問題は非線形固有値問題の一種であり、方程式としては（単成分系）平均場が満たす方程式と同じともの見なせるが、方程式を導く汎関数が異なるため考察しなければならない線形化問題が異なる。線形化固有値問題の解析は、無限次元空間における臨界点の構造を詳細に知るために必要であるが、ゲルファント問題の解析を進めることは、平均場を与える自由エネルギー汎関数の解析への基礎を与えると考えられるので、研究を進めてきた。今年度得られた結果によりゲルファント問題の理解は深まり、平均場の解析への準備は概ね完結したと考えているが、解析手法を突きつめることで、線形化固有値の、ハミルトニアンとは異なるものに支配される微細な挙動も見いだされた。
なお、以上の結果を、特に物理学者との研究交流を目指し、IUTAM Symposium on Vortex Dynamics（３月、福岡）などで発表し、内外の研究者との有益な交流ができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初予定していた平均場方程式に踏み込む途上ではあるが、ゲルファント問題についての解析を概ね完結できた。新たな現象の発見、関連する問題への拡張も進みつつあり、手法の理解が十分に深まったため。
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| 今後の研究の推進方策 |
計画に従い、平均場方程式、オイラー方程式の解析を進めるが、基礎となるゲルファント問題の線形化固有値問題の解析が予想以上に進展し、微細な構造も把握されつつある。こちらの研究も平行して進め、問題の本質を見極める。
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