| 研究概要 |
角がある非定常非圧縮性Navier-Stokes方程式の解の存在定理の研究に関して,平成23年度は空間次元2次元の扇型領域の場合に,上述の方程式の対流項(非線形項)を無視することにより線形化したStokes方程式の解を具体的に構成し,角の近くでの解の振る舞いを調べる計算を行った.
Stokes方程式は線形の方程式であるため,解を非圧縮性の空間での熱方程式の解の部分とそれに釣り合うポテンシャル部分(ラプラス方程式,正確にはポアソン方程式の解)に分解可能である.
ボアソン方程式については空間次元が2次元という特性を最大限に利用し,関数論の手法を用いて解を表示し,角の開きの大きさに応じた重み(角での解の特異性のオーダーに見合った,それを打ち消すための最適な原点(角)からの距離の冪の項)を考えた関数空間での評価を行った.領域が扇型のままでは解の具体的な表示式の形からの評価が困難であったが,角がなくなる特別な場合である半円(角の開きの大きさが180度の場合)に領域を変換し計算することで,このような困難を切り抜けることが出来た.その結果,角の開きの大きさが大きいほど(360度に近いほど)解は角の近くで特異性を持つことが判明した.逆に言えば扇型の角が尖っているほど解は角の近くで穏やかな振る舞いをすることになり,これは予想していたこととは反対の結果であった.
非圧縮性の空間での熱方程式の解については,解をベッセル関数を用いて具体的に表示する所までは計算が終わっており,現在は上述と同様な評価についての解析を行っている.
以上はすべて慶応義塾大学理工学部・谷温之氏及び弘前大学教育学部伊藤茂治氏との共同研究である.
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