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2022 年度 実施状況報告書

非線形分散型方程式における解挙動の多面的研究

研究課題

研究課題/領域番号 22K13941
研究機関香川大学

研究代表者

宮崎 隼人  香川大学, 教育学部, 准教授 (70752202)

研究期間 (年度) 2022-04-01 – 2027-03-31
キーワード非線形分散型方程式 / 非線形シュレディンガー方程式 / 散乱問題
研究実績の概要

2022年度は、川本昌紀氏との共同研究である、時間減衰する調和振動子を持つ非線形シュレディンガー方程式(NLS)の散乱問題について研究を進めた。特に、多項式とは限らない一般の斉次型非線形項を持つ場合の終値問題について、解が散乱解を持つか、修正散乱解を持つかに対応する非線形項の形状に関する十分条件を与えることに成功し、結果をまとめ論文を投稿した。この論文はJournal of Differential Equationsに掲載受理され、近日中に出版される予定である。さらに、時間減衰する調和振動子を持つNLSにおいて、ゲージ不変性を持つべき型の非線形項に限定し解の散乱作用素の構成を試みた。特に、先行研究で技術的に必要となっていた調和振動子の時間減衰する係数の大きさに関する条件を取り外すことを大きな目的とした。散乱作用素を構成するには、与えられた漸近形に実際に時刻無限大で漸近するような解を構成する終値問題、与えられた適切なクラスの初期値に対する解が時間大域的であり、さらに特定の漸近形に時刻無限大で漸近することを示す初期値問題がある。特に終値問題を考察する際、先行研究では時間に関する重み付きストリッカーツ評価を用いる必要があり、その弊害として時間減衰する係数がある意味で非常に小さいものしか扱うことができなかった。これは調和振動子を持たない通常のNLSに近い状況しか取り扱うことができていないことを意味する。しかし、線形レベルでは時間減衰する係数がある程度大きくても基本解は減衰するので、この条件は非線形問題でも取り外すことが期待できた。本研究において、この制限を取り外す方法を発見し、現在論文作成に取り組んでいる。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

2022年度は、継続課題であった時間減衰する調和振動子を持つ非線形シュレディンガー方程式の散乱問題の研究について、川本昌紀氏と共著論文を執筆しJournal of Differential Equationsに掲載受理された。また、新型コロナウィルス感染症による行動制限も緩和され、対面での議論を再開することができ、上記の方程式に関して研究の進展を得ることができた。また、今年度は5回の研究集会を主催したり、国内の研究集会に参加したりすることで、対面での討論を行うことができ、新たな研究の方向性も生まれつつある。以上を踏まえ、進捗状況をおおむね順調に進展していると評価した。

今後の研究の推進方策

まず継続課題である、時間減衰する調和振動子を持つ非線形シュレディンガー方程式の散乱問題の研究について、新しい論文を完成させ報告する。また、解が散乱しない場合や、ゲージ不変でない非線形項を持つ場合の初期値問題など、未開拓領域が多く広がっているため研究を積極的に遂行したい。また、非線形クライン・ゴルドン方程式の散乱問題や定在波の安定性等に関する研究も準備を進めているので、継続課題として取り組んでいきたい。予算執行について、昨年度までの外部資金を延長していたので大きな残額が生じている。共同研究者の招聘や研究連絡、研究集会実施に伴う講演者の招聘等、研究成果に繋がるよう計画を立て、適切に予算執行を行いたい。

次年度使用額が生じた理由

新型コロナウィルス感染症の影響により、2021年度までの研究期間であった科研費を期間延長し今年度の予算に当てたため、大きな残額が生じた。行動制限が解除され移動ができるようになったので、共同研究者の招聘や研究連絡、研究集会実施に伴う講演者の招聘等、研究成果に繋がるよう計画を立て、適切に予算執行を行いたい。

  • 研究成果

    (10件)

すべて 2023 2022 その他

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (7件) (うち国際学会 1件、 招待講演 6件) 備考 (2件)

  • [雑誌論文] Long-range scattering for a critical homogeneous type nonlinear Schr?dinger equation with time-decaying harmonic potentials2023

    • 著者名/発表者名
      Kawamoto Masaki、Miyazaki Hayato
    • 雑誌名

      Journal of Differential Equations

      巻: 365 ページ: 127~167

    • DOI

      10.1016/j.jde.2023.04.009

    • 査読あり
  • [学会発表] ある非線形シュレディンガー方程式の長距離散乱について2023

    • 著者名/発表者名
      宮崎隼人
    • 学会等名
      Takamatsu Mini Workshop on PDE and Geometric Analysis
    • 招待講演
  • [学会発表] Long-range scattering for a homogeneous type nonlinear Schroedinger equation2023

    • 著者名/発表者名
      宮崎隼人
    • 学会等名
      研究集会「微分方程式における解の漸近挙動の解析とその周辺」
    • 招待講演
  • [学会発表] 時間減衰する調和振動子を持つ臨界斉次型非線形シュレディンガー方程式における長距離散乱について2022

    • 著者名/発表者名
      川本昌紀, 宮崎隼人
    • 学会等名
      日本数学会2022年度秋季総合分科会
  • [学会発表] Long-range scattering for a homogeneous type nonlinear Schroedinger equation2022

    • 著者名/発表者名
      宮崎隼人
    • 学会等名
      第778回応用解析研究会
    • 招待講演
  • [学会発表] 時間減衰する調和振動子を持つ非線形シュレディンガー方程式の長距離散乱について2022

    • 著者名/発表者名
      宮崎隼人
    • 学会等名
      第二回香川における偏微分方程式研究会
    • 招待講演
  • [学会発表] Long-range scattering for a homogeneous type nonlinear Schroedinger equation2022

    • 著者名/発表者名
      宮崎隼人
    • 学会等名
      RIMS共同研究 (公開型) スペクトル・散乱理論とその周辺
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Long-range scattering for a homogeneous type nonlinear Schroedinger equation2022

    • 著者名/発表者名
      宮崎隼人
    • 学会等名
      九州関数方程式セミナー
    • 招待講演
  • [備考] Hayato MIYAZAKI's Website

    • URL

      https://sites.google.com/view/hayato-miyazaki/home

  • [備考] 香川大学研究者情報システム

    • URL

      https://www.kards.kagawa-u.ac.jp/profile/ja.49ff58e98528aec6edc27b186c88b5bc.html

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公開日: 2023-12-25  

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