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2011 年度 実績報告書

数論における幾何・トポロジーの新展開とアルゴリズム

研究課題

研究課題/領域番号 23244002
研究種目

基盤研究(A)

研究機関東京大学

研究代表者

松本 眞  東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70231602)

キーワード数論的基本群 / モジュライ / 数論幾何 / アルゴリズム
研究概要

松本は曲線の基本群に付随するガロア表現と写像類群の表現の比較について、米国Institute of Advanced Studyが主催するPark City数学研究所サマースクールにおいて招待講演を行った。講演内容は講義録として投稿中である(査読あり)。さらに、楕円曲線の普遍族に付随する普遍モノドロミー表現の生成元を決定し、論文を準備中である(R.Hainとの共同研究)。また松本は斎藤睦夫と、べき級数基底簡約を用いて動的に最適化する、グラフィックプロセッサ用疑似乱数発生法MTGPを開発し、ホームページ上で配布開始した。論文は投稿中である。基底簡約を通して、グラフィックプロセッサ用にCUDA社が配布しているCURAND乱数の欠陥を解析し、シドニーでのMCQMC国際学会で発表した。松本・斎藤睦夫・K.Matobaは離散フーリエ変換に基づくQuasi Monte Carlo点集合の高速計算可能な新指標Walsh Figure of Meritを提案し、論文を投稿中である。斎藤秀司はM.Kerzと、コホモロジー論的Hasse原理を示し、論文はPublicationIHESに受理されている。望月は圏論的タイヒミュラー理論の構築を進め、星は双曲曲線におけるガロア表現のモノドロミー充満性について、楕円曲線との違いを際立たせる結果を示している。玉川はM.Saidiと、有限体上の曲線の遠アーベル幾何のHom版をある条件のもとに示した。古庄はEnriqueと、Grothendieck-Teichmuller群の1の冪根版の構成を行った。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

松本-Hainによる楕円曲線引く一点の基本群への普遍的Galois表現とモチーフについて、生成元の決定などの進展があった。玉川により数論的基本群の遠アーベル性、ガロア表現の像のuniform boundの研究が進み、星によるモノドロミー充満性問題についてSerreの楕円曲線のTate module表現との違いが明確化された。松本-斎藤睦夫により、幾何的アルズリズムを用いた疑似乱数発生法の設計や、新しく提案されて流布しはじめた発生法の欠陥の解析など、応用方面での進展も順調である。

今後の研究の推進方策

当初の計画が順調に進んでおり、A.幾何的トポロジーの手法:基本群やモジュライ空間の幾何を利用した数論幾何・モチーフ理論の展開、B.圏論に基づく数論幾何:幾何的対象やその性質を圏論的データから再構成することにより、スキーム論より大きな数論幾何研究の枠組みを展開、C.数論・代数学における、幾何的アルゴリズムの開発と応用:冪級数体のノルムに関する格子基底縮約アルゴリズムや既約性判定アルゴリズム、の3つの関連分野を中心に研究を発展させる。昨今、研究者に様々な負荷が増しているので、研究時間の確保に努める。

  • 研究成果

    (9件)

すべて 2012 2011 その他

すべて 雑誌論文 (6件) (うち査読あり 6件) 学会発表 (3件)

  • [雑誌論文] Mixed Pentagon, octagon and Broadhurst duality equation2012

    • 著者名/発表者名
      B.Enriquez, H.Furusho
    • 雑誌名

      Journal of Pure and Applied Algebra

      巻: 216 ページ: 982-995

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the Combinatorial Anabelian Geometry of Nodally Nondegenerate Outer Representations2011

    • 著者名/発表者名
      Y.Hoshi, S.Mochizuki
    • 雑誌名

      Hiroshima Math.J.

      巻: 41 ページ: 275-342

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Galois-theoretic characterization of isomorphism classes of monodromically full hyperbolic curves of genus zero2011

    • 著者名/発表者名
      Y.Hoshi
    • 雑誌名

      Nagoya Mathematical Journal

      巻: 203 ページ: 47-100

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Bridge presentations of virtual knots2011

    • 著者名/発表者名
      Hirasawa, Mikami; Kamada, Naoko; Kamada, Seiichi
    • 雑誌名

      J.Knot Theory Ramifications

      巻: 20 ページ: 881-893

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Cohomological Hasse principle and motivic cohomology of arithmetic schemes

    • 著者名/発表者名
      M.Kerz, S.Saito
    • 雑誌名

      Publ.Math.IHES

      巻: (掲載確定)

    • 査読あり
  • [雑誌論文] A uniform open image theorem for 1-adic representations I

    • 著者名/発表者名
      A.Cadoret, Akio Tamagawa
    • 雑誌名

      Duke Math.Journal.

      巻: (掲載確定)

    • 査読あり
  • [学会発表] GL(2)の局所新形式論2012

    • 著者名/発表者名
      山内卓也
    • 学会等名
      p進代数群の表現論
    • 発表場所
      横浜市立大学
    • 年月日
      2012-02-13
  • [学会発表] Introduction to Arithmetic Mapping Class Group2011

    • 著者名/発表者名
      M.Matsumoto
    • 学会等名
      Summer School of the IAS/Park City Mathematics Institute on Moduli Spaces of Riemann Surfaces
    • 発表場所
      PCMI, Utah, USA(招待講演)
    • 年月日
      20110711-20110715
  • [学会発表] Four groups related to associators2011

    • 著者名/発表者名
      H.Furusho
    • 学会等名
      Mathematische Arbeitstagung 2011
    • 発表場所
      Max-Planck-Institute for Mathematics, Germany(招待講演)
    • 年月日
      20110624-20110630

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公開日: 2013-06-26  

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