| 研究課題/領域番号 |
23340028
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
小池 茂昭 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90205295)
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| 研究分担者 |
小川 卓克 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20224107)
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科(研究院), 教授 (40232227)
石井 仁司 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70102887)
長井 英生 関西大学, 工学部, 教授 (70110848)
三上 敏夫 広島大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (70229657)
石毛 和弘 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90272020)
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| 研究期間 (年度) |
2011-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 粘性解 / 最大値原理 / 比較原理 / ハルナック不等式 / 冪乗ラプラス作用素 |
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| 研究概要 |
Levy過程に現れる非局所項を持った完全非線形偏微分方程式の粘性解の一意性を得た。通常の比較原理による一意性でなく、ここでは、対応する微分ゲームにおけるコスト関数の劣最適性・優最適性を示すことで, 粘性解の一意性を証明した。このため、上下の半凸包による近似を組み合わせることで、半連続関数を充分よい関数で近似できることを利用した。
冪乗ラプラス作用素および、低階項が超線形増大の場合の粘性解のヘルダー連続性を導いた。最近、２次以上の増大度を持つ低階項がある一様楕円型方程式の解でなく、劣解の同程度連続性が得られるという顕著な結果があったが、最高次が冪乗ラプラス作用素の場合に低階項の増大度はどのようにすれば、同様の同程度連続性が得られるかという自然な疑問に対する回答である。このヘルダー連続性評価を用いて、対応する発展方程式の粘性解の時間大域的挙動を研究している。
非発散型の準線形退化・特異楕円型方程式の粘性解の比較原理を導いた。ここでは未知関数についての零階の項がない場合で、通常の粘性解理論では扱えない範疇である。発散型方程式においては、Poincareの不等式を用いて比較的簡単に示される方程式ですら、非発散型方程式の場合は未解決であった。非発散型方程式においては、未知関数の適切な変換を見つけた点が鍵となる。実際、既知の方法では、方程式の構造が不明瞭であったが、ここでは、見やすい変換により、方程式の構造を見やすくできただけでなく、不連続性を含む方程式にも適応できるようになった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非局所項を含む、微分積分方程式の一意性の証明に優最適性・劣最適性を用い、更に、関数の適切な近似法を用いた点は新しい点と考える。
冪乗ラプラス作用素と一階微分のべきの強弱関係を明らかにしており、その結果は自然であるが、劣解のヘルダー連続性を導くテスト関数は独創的と考える。
準線形方程式の解のより見やすい変換により、変換後の方程式の構造を明らかにした点は、今後の研究方向を与えたと考える。
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| 今後の研究の推進方策 |
更に、非局所項のある微分積分方程式の粘性解の基礎理論および、定性的理論の研究を進める。
Lp粘性解理論においても、非有界・不連続係数を持った場合の正則性理論の完成を目指す。また、放物型方程式にはまだ未完成の部分があるので、それらも解決していく。
準線形方程式は、非発散型方程式では研究の端緒に着いたばかりである。pラプラス作用素、無限大ラプラス作用素、幾何学に現れる作用素等、個々の研究および、一般論の構築を目指す。
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