| 研究概要 |
鎌田氏によって、４次元空間に埋め込まれた曲面を研究するために、平面上のラベルと向きが付けられたグラブで表現する手法、chart が定義された。頂点は次数1，4，6の３種類あり、次数４の頂点を crossing という。この研究の目標は chart を使って曲面結び目を分類することである。 crossing が３個の chart、crossing が４個の 4-chart についてはある程度調べられている。今回は辺のラベルが１，２，３, ４のどれかである 5-chart について調べた。
4-chart では, crossing の種類が１種類しかないのに比べて 5-chart では種類が３種類と増え、複雑になる。全部で１５種類の chart について考えないといけない。今回分かったことは次のことである。『 4-minimal 5-chart Γ で、crossing を丁度 ４個含むならば、必要ならばラベルを入れ替えたりすると、Γ は次の６つのいずれかである。(1) c(Γ_1∩Γ_4)=4, (2) c(Γ_1∩Γ_4)=3, c(Γ_1∩Γ_3)=1, (3) c(Γ_1∩Γ_4)=2, c(Γ_1∩Γ_3)=2, (4) c(Γ_1∩Γ_4)=2, c(Γ_1∩Γ_3)=1, c(Γ_2∩Γ_4)=1, (5) c(Γ_1∩Γ_3)=4, (6) c(Γ_1∩Γ_3)=2, c(Γ_2∩Γ_4)=2』ここで、Γ_i は Γ のラベル i の辺とその頂点からなる部分グラフで、c(G) はグラフ G に含まれる crossing の個数とする。
今回の研究では、crossing が４個の 5-chart は 4-chart よりかなり複雑であることが分かった。残りの 5-chart を研究しようと思うが、ここから知られていない曲面結び目が発見されることを期待する。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究は更に詳しく４つの crossing を含む 5-chart について調べたい。
この chart は以前の 4-chart に比べ、ラベルの種類が１つ増えるので、目を付ける所が違うかもしれない。そこで、次のような tangle (D∩Γ, D) について調べる。(1) 円板 D の境界と交わる辺は横断的に交わり、crossing は含まない。(2) 円板 D 内の辺のラベルが１、２，３のいずれかである。(3) 円板 D の境界と交わるラベル１の辺の数が２，３である。ラベルの種類が１つ増えたので、以前とは違う複雑さが現れるのではないかと思う。
様々な chart が現れたときに、それらを区別するための不変量についても引き続き調べて行きたい。特に、Alexander module、quandle cocycle 不変量を引き続き研究したい。
またこの研究の２番目の目標であった、white vertex が６個の chart について調べていきたい。white vertex は次数が６の頂点をさす。特に 2-twist spun trefoil を表す chart を含む class、(2,4) 型の chart について調べていきたい。こちらからも、未知の chart が発見されるかもしれないし、分類に必要な不変量の研究の例にもなるだろう。
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