| 研究課題/領域番号 |
23540116
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| 研究機関 | 福岡大学 |
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研究代表者 |
川久保 哲 福岡大学, 理学部, 助教 (80360303)
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| 研究期間 (年度) |
2011-04-28 – 2015-03-31
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| キーワード | キルヒホッフ弾性棒 / 弾性曲線 / 変分問題 / 渦糸 / 局所誘導階層 |
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| 研究概要 |
平成23年度は，一般次元の空間形内のKirchhoff弾性棒の幾何学的な性質について研究した．特に，Kirchhoff弾性棒の方程式の初期値問題について考察した．そして，任意の初期値に対して，大域解（実数全体で定義された解）が一意的に存在することを証明し，論文「Kirchhoff弾性棒の方程式の第一積分と大域解」（福岡大学理学集報 41(2011),147-153）において結果を報告した．特にこの結果から，任意の長さのKirchhoff弾性棒は，Kirchhoff弾性棒であることを保ったまま，両側に，長さ無限大に一意的延長ができるということなどが分かる．証明は，良く知られているFrenet曲率とは異なる，自然曲率というものを用いて行う．即ち，Kirchhoff弾性棒の方程式を，その自然曲率の方程式に帰着させる．そして，自然曲率の方程式が，ある第一積分をもつことを利用して，解の先験的評価を行い，大域解の存在を証明した．なお，Kirchhoff弾性棒の方程式は，曲げと捩れの効果を考慮したエネルギーのEuler-Lagrange方程式であり，非線形４階常微分方程式である．従って，初期値問題の局所解の存在は自明であると言って良いが，大域解の存在は決して自明なことではないことを注意しておく．実際，曲線の変分問題のEuler-Lagrange方程式の解であっても，一般に，大域解に延長できるとは限らない．(例えば，平面内のbiminimal curve(bienergyの制限付き変分問題の解)で，大域解に延長できないものが存在する，という事などが知られている．)上で述べた，Kirchhoff弾性棒の大域解の一意存在定理は，空間形内での結果であったが，これは一般の完備Riemann多様体内で成り立つと予想している．この予想が正しいことを示すことが，今後の課題の一つである．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の目的は，Riemann多様体内において，測地線よりも豊かな構造をもつ曲線（特にKirchhoff弾性棒やソリトン曲線）の幾何学を展開することである．これらの曲線は，これまでにも様々な研究が行われてきたが，３次元空間形内での研究がほとんどであった．平成23年度は，当初，高次元空間形内において，できるだけ広いクラスのKirchhoff弾性棒の具体的な表示式を求め，その幾何学的性質を解明することを第一の目標としていた．しかし，初期値問題の大域解の一意存在という，より根源的な問題が未解決であったため，こちらの問題を先に研究することにした．その結果，研究実績の概要の欄にも述べたように，一般次元の空間形内において，初期値問題の大域解の一意存在定理を得ることができた．やや方針を変更したため，当初の計画通りの進捗は得られていないが，より根源的な問題に対して，重要な進展が得られたと考えている．
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| 今後の研究の推進方策 |
平成23年度は，空間形内において，Kirchhoff弾性棒の方程式の初期値問題を考察し，大域解の一意存在定理を得た．平成24年度は，この結果を一般の完備Riemann多様体内に拡張することを第一の目標とする．また，その他には，主に次の２つの研究を行う予定である．まず，高次元空間形内のKirchhoff弾性棒の具体例の構成について研究を行う．これまでの研究で，５次元空間形内の螺旋でない充満Kirchhoff弾性棒の例が構成できている．これを一般の奇数次元の空間形，及び４次元空間形内に，何らかの形で拡張することを目標とする．次に，３次元空間形内のKirchhoff弾性棒を，可積分系(局所誘導階層)の理論によって拡張した曲線である，ソリトン曲線について研究を行う．これまでの研究で，３次元空間形内の全ての第ｎソリトン曲線の座標表示を，その曲率と捩率によって表すことができている．従って，もし曲率と捩率を具体的に表すことができれば，ソリトン曲線自体を完全に具体的に記述できたことになる．ｎが３以下ならば，それができることが分かっているが，一般の場合はまだ示されていない．一般の場合，微分方程式の階数が高くなるため，曲率と捩率を求めることは非常に困難になると思われるが，何らかの条件の下で具体的な表示式を求めることを目標とする．
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| 次年度の研究費の使用計画 |
平成24年度の研究費の使用計画を述べる．まず，平成23年度からの繰越金額は０円であり，平成24年度の直接経費の予定額は 800,000円である．この内，物品費を300,000円程度，旅費を500,000円程度使用する予定である．
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