楕円型作用素の精度保証つき固有値評価と非線形問題への応用

2013 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 23740092
• 研究種目: 若手研究(B)
• 配分区分: 基金
• 研究分野: 数学一般(含確率論・統計数学)
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 劉 雪峰 早稲田大学, 理工学術院, 講師 (50571220)
• 研究期間 (年度): 2011 – 2013
• キーワード: 固有値評価 / 有限要素法 / 事前誤差評価 / 非線形偏微分方程式 / 精度保証付き数値計算 / 楕円型微分作用素 / 固有値問題 / Hypercircle equation

研究概要

ラプラス作用素の固有値評価について、固有値の上界を評価する理論と計算手法はこれまでの研究において確立されている。しかし、固有値の下界の評価は非常に困難な問題として残されていた。本研究はHypercircle equationを利用することで、一般的な多角形領域における固有値の厳密な下界を評価する手法であり、世界で初めて確立した。また、当研究を非線形楕円型偏微分方程式の解の検証に応用することで、従来は困難であった一般的な領域における非線形問題の解の検証も可能となった。

研究成果

• [雑誌論文] High precision eigenvalue bound for the Laplacian with singularity (2014)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu, Tomoaki Okayama and Shin'ichi Oishi
  • 雑誌名: Proceeding of the 2012 Asian Symposium on Computer Mathematics (ASCM 2012) 巻: (未発行)(accepted)
  • 査読あり
• [雑誌論文] Remarks on computable a priori error estimates for finite element solutions of elliptic problems (2014)
  • 著者名/発表者名: Akitoshi Takayasu, Xuefeng Liu and Shin'ichi Oishi
  • 雑誌名: NOLTA, IEICE 巻: Vol.5, No.1 ページ: 53-63
  • DOI: 10.1587/nolta.5.53
  • 査読あり
• [雑誌論文] Guaranteed high-precision estimation for P0 interpolation constants on triangular finite elements (2013)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu and Shin'ichi Oishi
  • 雑誌名: Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics 巻: 30(3) ページ: 635-652
  • DOI: 10.1007/s13160-013-0120-6
  • 査読あり
• [雑誌論文] Verified eigenvalue evaluation for Laplacian over polygonal domains of arbitrary shape (2013)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu and Shin'ichi Oishi
  • 雑誌名: SIAM J. Numer. Anal 巻: 51(3) ページ: 1634-1654
  • DOI: 10.1137/120878446
  • 査読あり
• [雑誌論文] Verified computations to semilinear elliptic boundary value problems on arbitrary polygonal domains (2013)
  • 著者名/発表者名: Akitoshi Takayasu, Xuefeng Liu and Shin'ichi Oishi
  • 雑誌名: NOLTA, IEICE 巻: E96-N(1) ページ: 34-61
  • DOI: 10.1587/nolta.4.34
  • 査読あり
• [雑誌論文] A residual bound evaluation of operator equations with Raviart-Thomas finite element (2012)
  • 著者名/発表者名: Akitoshi Takayasu, Xuefeng Liu and Shin'ichi Oishi
  • 雑誌名: 京都大学数理解析研究所講究録 巻: 1791 ページ: 206-215
• [雑誌論文] Verified eigenvalue evaluation for Laplace operator on arbitrary polygonal domain (2011)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu and Shin'ichi Oishi
  • 雑誌名: 京都大学数理解析研究所講究録 巻: 1733 ページ: 31-39
• [学会発表] Verified lower eigenvalue bounds for self-adjoint differential operators (2014)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu and Shin'ichi Oishi
  • 学会等名: Program of the International Workshop on Numerical Verification and its Applications 2014 (INVA 2014)
  • 発表場所: Waseda University
  • 年月日: 20140300
• [学会発表] A uniform approach to high-precision verified eigenvalue bounds for self-adjoint differential operators (2014)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu, Michael Plum and Shin'ichi Oishi
  • 学会等名: 日本応用数理学会 2014年研究部会連合発表会
  • 発表場所: 京都大学吉田キャンパス
  • 年月日: 20140300
• [学会発表] Guaranteed highprecision estimation for interpolation error constant (2013)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu
  • 学会等名: International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA2013)
  • 発表場所: Santa Fe, USA
  • 年月日: 20130900
• [学会発表] High-precision verified eigenvalue estimation for elliptic differential operator over polygonal domain of arbitrary shape (2013)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu
  • 学会等名: Conference on the Mathematics of Finite Elements and Applications (MAFELAP2013)
  • 発表場所: Brunel University, UK
  • 年月日: 20130600
• [学会発表] 高精度な補間関数の誤差定数の評価について (2013)
  • 著者名/発表者名: 劉雪峰
  • 学会等名: 日本応用数理学会2013年研究部会連合発表会
  • 発表場所: 東洋大学白山キャンパス
  • 年月日: 20130300
• [学会発表] On guaranteed eigenvalue estimation of compact differential operator with singularity (2012)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu and Shin'ichi Oishi
  • 学会等名: 2012 International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications(NOLTA2012)
  • 発表場所: Palma Majorca, Spain
  • 年月日: 20121000
• [学会発表] On high-precision eigenvalue estimation for self-adjoint elliptic differential operator and its application (2012)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu and Shin'ichi Oishi
  • 学会等名: The Tenth Asian Symposium on Computer Mathematics (ASCM 2012)
  • 発表場所: Beijing, China
  • 年月日: 20121000
• [学会発表] A framework of high-precision eigenvalue estimation for self-adjoint elliptic differential operator (2012)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu and Shin'ichi Oishi
  • 学会等名: 15th GAMM-IMACS International Symposium on Scientific Computing, Computer Arithmetic and Verified Numerics (SCAN'2012)
  • 発表場所: Novosibirsk, Russia
  • 年月日: 20120900
• [学会発表] 自己共役楕円型微分作用素の高精度な固有値評価について (2012)
  • 著者名/発表者名: 劉雪峰, 大石進一
  • 学会等名: 日本応用数理学会 2012年度年会
  • 発表場所: 北海道稚内市
  • 年月日: 20120800
• [学会発表] A framework on high precision eigenvalue value evaluation for self-adjoint elliptic operator (2012)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu
  • 学会等名: 4th China-Japan-Korea Conference on Numerical Mathematics
  • 発表場所: Shiga, Japan
  • 年月日: 20120800
• [学会発表] On verified eigenvalue evaluation of self-adjoint elliptic differential operator (2012)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu and Shin'ichi Oishi
  • 学会等名: The 8th EASIAM
  • 発表場所: Taipei, Taiwan
  • 年月日: 20120600
• [学会発表] 不動点定理による大規模行列の固有値の精度保証付き評価 (2012)
  • 著者名/発表者名: 劉雪峰, 大石進一
  • 学会等名: 第41回数値解析シンポジウム
  • 発表場所: 群馬県渋川市
  • 年月日: 2012-06-08
• [学会発表] On verified computation of laplacian eigenvalues over polygonal domain (2011)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu and Shin'ichi Oishi
  • 学会等名: 2011 International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA 2011)
  • 発表場所: Kobe, Hyogo, Japan
  • 年月日: 20110900
• [学会発表] On verified evaluation of several interpolation error constants (2011)
  • 著者名/発表者名: 劉雪峰, 大石進一
  • 学会等名: 日本応用数理学会2011年度年会
  • 発表場所: 京都
  • 年月日: 20110900
• [学会発表] On computable eigenvalue evaluation for elliptic eigen-problem with singularity (2011)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu
  • 学会等名: Japanese-German Workshop on Computer-Assisted Proofs and Verification Methods
  • 発表場所: Karlsruhe, Germany
  • 年月日: 20110900
• [学会発表] 有限要素法の計算的な誤差評価とその応用 (2011)
  • 著者名/発表者名: 劉雪峰
  • 学会等名: 第33回発展方程式若手セミナー
  • 発表場所: 茨城県つくば市
  • 年月日: 20110800
• [学会発表] Computer-assisted eigenvalue bounds (2011)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu and Shin'ichi Oishi
  • 学会等名: ICIAM 2011
  • 発表場所: Vancouver, Canada
  • 年月日: 20110700
• [学会発表] High-precision eigenvalue bounds for laplacian over general polygonal domain (2011)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu
  • 学会等名: Workshop on Analytic and Computational Techniques in Spectral Theory and Related Topics
  • 発表場所: Gregynog Hall, Cardiff University, UK
  • 年月日: 20110600
• [学会発表] Numerical verification for solution existence of elliptic PDE on arbitrary polygonal domain (2011)
  • 著者名/発表者名: Xuefeng Liu and Shin'ichi Oishi
  • 学会等名: The 7th EASIAM
  • 発表場所: Kitakyushu Campus of Waseda University, Fukuoka, Japan
  • 年月日: 20110600
• [備考] (1) 固有値のオンライン計算
  • URL: http://www.xfliu.org/onlinelab/