| 研究概要 |
今年度は(1) 反射境界条件を持つ確率微分方程式の解のWong-Zakai近似 (2) 反射境界条件を持つrough differential equation (3) 双曲型空間上のループ空間上のスペクトルギャップの準古典極限について研究を行った。
(1)について説明する。ユークリッド空間の必ずしも滑らかとは限らない領域(論文では(A), (B), (C)と呼んでいる条件を満たしている領域)で定義された内向き法線方向への反射境界条件を持つ確率微分方程式に対して、Wong-Zakai近似解が真の解に強収束することを証明し、それをまとめた論文が2013年に学術誌に掲載された。さらに、領域に関するより弱い条件の下(領域が凸または領域が条件(A),(B)のみをみたす)で、確率収束することを示した。また、(2)において、ラフパスでドライブされた反射壁の方程式を定式化し解の評価を行った。一意性が成立するか、連続性定理が成立するかは今後の重要な課題である.
(3)においては, まず, 一般のリーマン多様体における最短測地線の近傍で定義されたディリクレラプラシアンの一般化された第2固有値の準古典極限をパスのエネルギー関数の最短測地線におけるヘッシアンを用いて,決定した。さらに, 双曲空間におけるループ空間で定義されたOrnstein-Uhlenbeck作用素のスペクトルギャップの存在を示した。これは,Chen-Li-Wu(JFA, Vol.259, 2010)の結果の別証明である。我々の証明方法の利点は, 自然にその方法と上記の証明方法とを合わせて,スペクトルギャップの準古典極限を決定することができることにある.
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