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本研究では、有限単純群の構成を考えるうえで特徴的な部分群に注目し、その部分群から得られる組合せ構造等を用いて、単純群の構成、特徴付けについての研究を行うことが目的である。特に、ある既約表現に注目し、その上に作用している良い部分群に着目し、その部分群からの群の構成、群の構造の研究を行うことが目的である。本年度はラドヴァリス群およびマシュー群の研究を中心に行った。
１．ラドヴァリス群の28次元の表現空間上での構成について引き続き研究を行った。前年度の研究で考察したホフマンーシングルトングラフにおける5角形全体を、6次対称群による軌道分解により考察することにより、ラドヴァリス群の作用する自己双対符号の生成ベクトルの性質を調べた。また、関連する一般8角形についても6次対称群を通して考察を行った。
２．12次のマシュー群は45次の既約表現をもっている。この既約表現は、有理数体上で実現できる表現である。この表現空間上に良い性質をもった格子を構成した。この格子の性質を調べる上で、マシュー群の位数2の元とその中心化群が重要な役割をもち、位数2の元の関係との格子の最小ベクトルの内積の間に密接な関係があることが分かった。これにより、格子を調べる上で、群の部分群の構造が反映するため、非常に良い格子であると思われる。また、この格子を用いて45次の表現空間に定義される可換代数構造についても考察を行った。この研究は発展性があると思われ、今後の研究によりさらに発展すると思われる。
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