| 研究課題/領域番号 |
24540216
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 宮崎大学 |
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研究代表者 |
飯田 雅人 宮崎大学, 工学部, 教授 (00242264)
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| 研究分担者 |
二宮 広和 明治大学, 理工学部, 教授 (90251610)
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| 研究期間 (年度) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| キーワード | 関数方程式 / 応用解析 / 非線形現象 / 反応拡散系 / 漸近解 |
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| 研究概要 |
反応拡散系は複数の成分の拡散と非線形相互作用を表す連立偏微分方程式系である。反応拡散系には、非線形項の形やパラメータの値によっては特徴的な形状をした解が存在することが、既存の多くの数値実験から示唆されている。本研究では、これら諸々の特徴的な形状をした解のうち、角遷移層（解の勾配が急激に変化する薄い層）や内部遷移層（解の値が急激に変化する薄い層）を持つ解などに対して、その形状を精密に近似する漸近解の理論的な構築手法の確立を目指している。
２４年度は、競争関係にある２種の生物の個体群を記述する反応拡散系に対し、角遷移層内を局所的に近似する精密な漸近解をさまざまな精度で形式的に構築し、角遷移層と層の外側との接合部付近における詳細な形状を解析することにより、漸近解を上下から評価する不等式を精密化した。この精密な評価を用いれば、角遷移層内での局所的な漸近解と、今後構成する角遷移層外側での精密な漸近解に対し、両者の接合部分における近似の精度を定量化できるものと期待される。
一方、角遷移層の特徴を深く理解するための別の視点からの考察として、この系の種間相互作用と拡散の構造のみを抽出・単純化した反応拡散系において角遷移層と同時に内部遷移層が現れる状況について、相互作用の次数をさまざまな値に取り替えて遷移層の挙動を調べてみた。その結果、次数によっては遷移層が静止したまま運動しないことが新たに見出された。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
角遷移層を持つ解の解析は、「研究実績の概要」で述べたように計画通り進展している。
一方、並行する計画として、多種協調拡散系における多段階侵入現象を近似する漸近解の理論的な構築も目指しており、まずは侵入の各段階を上側から局所的に近似する漸近解と下側から局所的に近似する漸近解を別々に構築する計画である。上側から近似する局所漸近解については、縮約系のさまざまな進行波解を基に構成できるものと期待しており、そのための準備として、それら進行波解の挙動を力学系の観点から計画通り整理した。下側から近似する局所漸近解については、その構成のヒントを得るため、多次元空間におけるFisher-KPP方程式の単発侵入型解の古典的な構成方法を分析しているが、この分析を進める中で、当初予想していた以上に多次元Fisher-KPP方程式の諸性質を深く調べ直す必要に迫られ、関連する多数の文献の読み込みに研究時間の大部分を割かざるを得なくなった。そのため、この分析を踏まえて研究代表者・研究分担者間で予定していた下側からの局所漸近解構築を検討し合うための研究連絡は、充分にできなかった。この点では、当初の計画よりもやや遅れている。
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| 今後の研究の推進方策 |
角遷移層型解の漸近解構築に関しては、２４年度に精密化した角遷移層内での局所的な上下からの評価に関する詳細な解析を整理する。さらに、角遷移層の外側での漸近解候補である自由境界問題の解に対し、初期データの正則性と自由境界の正則性との関係を詳細に調べる。
一方、多種協調拡散系の多段階侵入現象を近似する漸近解の構築に関しては、まず２４年度に引き続き、多次元Fisher-KPP方程式の単発侵入型解について古典的な構成方法を分析し、この解の諸性質を整理する。さらに、２４年度に整理した縮約系の進行波に関する知見に基づき、多段階侵入現象の各段階を上側から局所的に近似する漸近解の構築を目指す。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
「現在までの達成度」の理由欄に述べたとおり、多次元Fisher-KPP方程式に関する多数の文献の読み込みに当初予想していた以上に手間取ったため、下側から近似する局所漸近解の構築方法を研究代表者・研究分担者間で検討し合うための研究連絡が充分にできなかった。２４年度旅費のうち、この研究連絡に該当する部分は未使用のままであるが、２５年度旅費と併用することにより、下側からの局所漸近解の構築方法試案を研究代表者・研究分担者間で討論する時間を、２５年度は充分に設ける。
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