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本年度も、反応拡散方程式に対する自由境界問題、および非局所項と拡散項を伴うロジスティック方程式に関する研究を継続した。
自由境界問題は生物の侵入・移動をモデルとしており、生物の個体数密度と生息域の境界（またはその一部）が未知の問題である。個体数密度 u は u_t=du_{xx}+f(u) の形の方程式で支配され、自由境界の運動は Stefan 型の条件で与えられるとする。「蛾」のような生物の場合、大発生状態と個体数が少なくても森の中で存続する少数存続状態が繰り返されることが多い。このような状況は数学的には、Holling III型と呼ばれる非線形項 f で記述され、大小2つの正定数が平衡点となる。この場合、非線形項はロジスティック型と双安定型両方の性質を併せ持つ。しかも数値計算に基づくシミュレーションでは、自由境界問題の解は (i) 自由境界は有限にとどまり種は絶滅に向かう、(ii) 自由境界は無限に拡がり、種は大発生状態に収束する、(iii) 自由境界は無限に拡がり、種は少数存続状態に収束する、(iv) 自由境界は無限に拡がり、個体数密度は2つの状態をつなぐ単調減少関数に収束る、の4パターンに分類さることを示唆していた。本研究グループでは、実際にこの結果が正しいことを理論的に証明したのみならず、自由境界が拡がる速度を導出することにも成功した。さらに、個体数密度を表す関数の形状が時間とともに推移する過程についても詳しい情報が得られると予想している。これらの成果は数学的にも数理生態学的にも意義が大きい。
非局所項を伴うロジスティック方程式の研究では、定常解の安定性の判定が一般には難しい課題である。本研究では、反応項に空間積分で表される非局所項を加えた拡散方程式を扱い、一定の条件の下で定常解の一意存在、大域的漸近安定性を示す解析手法を編み出すことができた。
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