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2013 年度 実績報告書

数理モデルにおける非線型消散・分散構造の 臨界性の未開領域解明

研究課題

研究課題/領域番号 25220702
研究機関東北大学

研究代表者

小川 卓克  東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20224107)

研究分担者 川島 秀一  九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (70144631)
高橋 太  大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10374901)
石毛 和弘  東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90272020)
研究期間 (年度) 2013-05-31 – 2018-03-31
キーワード非線形シュレディンガー方程式 / 移流拡散方程式 / 変数係数放物型方程式 / 端点最大正則性原理 / 臨界適切性 / 有限時刻爆発 / 係数共鳴 / ベゾフ空間
研究実績の概要

○移流拡散方程式の質量臨界とSobolev臨界指数の間の場合の時間大域的挙動を切り分ける閾値を定常解を与える汎函数に関連するHardy-Littlewood-Sobolevの不等式の最良定数により分類した.
○2次の非線型性を持つ非線型シュレディンガー方程式の初期値問題の適切性を考え, 空間 1次元ではスケール変換で不変となるSobolev空間(スケール不変空間)よりずっと狭い空間で非適切となり, 実際にはぎりぎりのSobolevスケールで適切であって, それより広いBesov空間ではすべて非適切で, 初期時刻にいくらでも近い時刻で解がいくらでも大きくなりうること, さらに空間2次元ではスケール変換不変の空間で非適切となり, 非斉次臨界Sobolevスケールで初期時刻にいくらでも近い時刻で解が増大することを, 岩渕 司氏と共同で証明した. この結果, ゲージ不変性を持たない2次の非線型シュレディンガー方程式では低次元の適切性の臨界空間はそれぞれの次元によって皆異なる理由で適切性・非適切性が分かれることがわかった.
○2次の連立非線型シュレディンガー方程式系の2次元での係数共鳴について研究し, 質量比が1:2となる特別な場合に散乱問題が特殊な漸近形を示すこと, さらにこれまでに知られていない漸近形の構造を瓜屋航太氏と見いだした.
○ Danchinにより示された放物型方程式の最大L-1正則性を再考し, 特に初期条件への時間変数のトレースに相当する最大正則性原理成立の必要性を清水扇丈氏との共同研究で示した. これにより, 時間L-1の最大正則性原理は初期値対して厳密に実補間空間に属す場合のみ成立し, それより改良できないことがわかる. また外力に対するDanchinによる証明の別証明を空間積分指数pが1より小さい場合の評価も得られる.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

目的としていた非局所効果を持つ移流拡散方程式の解の挙動に付いていわゆる質量臨界の退化型問題に対する時間大域挙動を明らかにすると共に, 質量臨界とSobolev臨界のあいだの指数に対する大域挙動を分ける初期値に対する特徴付けを明らかにした. これは今後の指標となる重要な成果である. また流体力学モデルからの展開による方程式の導出を厳密に示した. これにより移流拡散方程式と圧縮性粘性流体のモデルとの相互関係と類似性を研究する意味が数学的に実証された.
他方非線形分散型方程式の高次展開と臨界性の関係については2次の非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式の解の時間局所適切性についてベソフ空間に精密化して低次元の臨界空間を決定した. この結果の証明の過程で, 解の漸近展開の正当化をモデュレーション空間において厳密に示し, ほかの問題に対する一般化の道筋を付けた.
変数係数の放物型方程式に対する最大正則性について非回帰的空間の一例である斉次ベゾフ空間における評価を得ていたが, 時間変数の端点臨界であるL1では詳しく知られていなかった. この方向におけるいくつかの結果を
総合的に含む形で最良の仮定の下でL1最大正則性を証明した. この結果はDanchinによる結果と同一であるが非発散形式の変数係数放物型方程式の初期値問題への拡張が可能と見込まれ, その方向で証明を進めている.
なお計画におけるいくつかの国際研究集会を実施し研究交流を実現すると共に, 外国人研究者の招へいなどによる研究の進展をみた.

今後の研究の推進方策

非局所型問題に対しては, 今後質量臨界における時間大域挙動を考察し, 時間発展解と定常解の関係を明らかにする方向で研究を進める. 解の形状分解を用いた漸近構造の解析が重要な位置を占めるものと思われる. また臨界指数間の問題について, 質量臨界の閾値に対応する場合の時間大域挙動を考える. また3次元Navier-Stokes方程式のスケールに対応する高次元の移流拡散方程式に対する時間大域的挙動を考える. この問題は優臨界の問題としては比較的解明が期待できる問題である.
非線形分散型問題に対しては2次の非線形項を持つ, 連立型問題に焦点を絞り質量共鳴問題と臨界適切性および時間大域的漸近挙動の関連を中心に研究を進め, 質量共鳴の大域的意味を考察する.
また引き続き変数係数放物型方程式の臨界最大正則性原理について研究し, 最良の係数条件の下で最大正則性を確立すると共に, 圧縮性ナビエ・ストークス方程式の臨界適切性あるいはポアッソン方程式との連立系についての臨界可解性を考察する. また最大正則性の初期値境界値問題への拡張を試みる.
現時点で考えられる研究上の問題点はほとんどないが, 不確定な要素は支援を依頼する研究支援者の雇用について支援者側の都合で雇用が間に合わない可能性があることは想定しておく. この場合研究の開始を少し遅くするか代わりの支援者を探すことで対処する.

  • 研究成果

    (50件)

すべて 2014 2013 その他

すべて 雑誌論文 (20件) (うち査読あり 20件、 謝辞記載あり 2件、 オープンアクセス 6件) 学会発表 (28件) (うち招待講演 18件) 図書 (1件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] Global classical solutions for partially dissipative hyperbolicsystems of balance laws2014

    • 著者名/発表者名
      J. Xu and S. Kawashima
    • 雑誌名

      Arch. Rat. Mech. Anal.

      巻: 211 ページ: 513-553

    • DOI

      10.1007/s00205-013-0679-8

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Diffusive relaxation limit of classical solutions to the damped compressible Euler equations2014

    • 著者名/発表者名
      J. Xu and S. Kawashima
    • 雑誌名

      J. Diff. Equations

      巻: 256 ページ: 771-796

    • DOI

      10.1016/j-jde.2013.09.019

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Decay property for the Timoshenko system with Fourier's type heat conduction2014

    • 著者名/発表者名
      N. Mori and S. Kawashima
    • 雑誌名

      J. Hyperbolic Differential Equations

      巻: 11 ページ: 135-157

    • DOI

      10.1142/S0219891614500039

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Regularity and asymptotic stability for the Keller-Segel system of degenerate type with critical nonlinearity2013

    • 著者名/発表者名
      Masashi Mizuno, Takayoshi Ogawa
    • 雑誌名

      J. Math. Sci. Univ. Tokyo

      巻: 20 ページ: 375-433

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Fluid mechanical approximation to the degenerated drif-diffusion and chemotaxis equations in barotoropic model2013

    • 著者名/発表者名
      Takayoshi Kobayashi, Takayoshi Ogawa
    • 雑誌名

      Indiana Univ. Math. J.

      巻: 62 ページ: 1021-1054

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Modified wave operator for the quadratic nonlinear Schrodingier system in two space dimensions2013

    • 著者名/発表者名
      Takayoshi Ogawa, Kota Uriya
    • 雑誌名

      RIMS Kokyuroku Bessatsu

      巻: B42 ページ: 153-170

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Global existence and asymptotic decay of solutions to the nonlinear Timoshenko system with memory2013

    • 著者名/発表者名
      Y. Liu and S. Kawashima
    • 雑誌名

      Nonlinear Analysis

      巻: 84 ページ: 1-17

    • DOI

      10.1016/j.na.2013.02.005

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Global well-posedness in critical Besov spaces for two-fluid Euler-Maxwell equations2013

    • 著者名/発表者名
      J. Xu, J. Xiong and S. Kawashima
    • 雑誌名

      SIAM J. Math. Anal.

      巻: 45 ページ: 969-987

    • DOI

      10.1137/120888673

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Asymptotic behavior of solutions to the generalized cubic double dispersion equation in one space dimension2013

    • 著者名/発表者名
      M. Kato, Y.-Z. Wang and S. Kawashima
    • 雑誌名

      Kinetic and Related Models

      巻: 6 ページ: 969-987

    • DOI

      10.3934/Krm.2013.6.969

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] On the number of maximum points of least energy solutions to a two-dimensional Henon equation with large exponent2013

    • 著者名/発表者名
      F. Takahashi
    • 雑誌名

      Communications on Pure and Applied Analysis

      巻: 12 ページ: 1237-1241

    • DOI

      10.3934/cpaa.2013.12.1237

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Nonexistence of multi-bubble solutions for a higher order mean field equation on convex domains2013

    • 著者名/発表者名
      F. Takahashi
    • 雑誌名

      Springer INdAM Ser.

      巻: 2 ページ: 283-293

    • DOI

      10.1007/978-88-407-2841-8_18

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Some identities of Green's function for the polyharmonic operator with the Navier boundary conditions and its applications2013

    • 著者名/発表者名
      F. Takahashi
    • 雑誌名

      Mathematische Nachrichten

      巻: 286 ページ: 306-319

    • DOI

      10.1002/mana.201100236

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Morse indices and the number of blow up points of blowing-up solutions for a Liouville equation with singular data2013

    • 著者名/発表者名
      F. Takahashi
    • 雑誌名

      Discrete and Continuous Dynamical Systems, Supplement

      巻: 2013 ページ: 729-736

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Large time behavior of solutions of a semilinear elliptic equation with a dynamical boundary condition2013

    • 著者名/発表者名
      M. Fila, K. Ishige, and T. Kawakami
    • 雑誌名

      Adv. Differential Equations

      巻: 18 ページ: 69-100

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Convection-diffusion equation with absorption and non-decaying initial data2013

    • 著者名/発表者名
      K. Ishige and K. Kobayashi
    • 雑誌名

      J. Differential Equations

      巻: 254 ページ: 1247-1268

    • DOI

      10.1016/j.jde.2012.10.014

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Decay rate of L^q norms of critical Schordinger heat semigroups2013

    • 著者名/発表者名
      K. Ishige and Y. Kabeya
    • 雑誌名

      Springer INdAM

      巻: 2 ページ: 165-178

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Local quasi-concavity of the solutions of the heat equation with a nonnegative potential2013

    • 著者名/発表者名
      D. Andreucci and K. Ishige
    • 雑誌名

      Ann. Mat. Pura Appl

      巻: 192 ページ: 329-348

    • DOI

      10.1007/s10231-011-0226-x

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Sharp decay estimates of L^q norms of nonnegative Schrodinger heat semigroups2013

    • 著者名/発表者名
      N. Ioku, K. Ishige, and E. Yanagida
    • 雑誌名

      J. Funct. Anal.

      巻: 264 ページ: 2764-2783

    • DOI

      10.1016/j.jfa.2013.03.009

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Asymptotic expansions of solutions of the Cauchy problem for nonlinear parabolic equations2013

    • 著者名/発表者名
      K. Ishige and T. Kawakami
    • 雑誌名

      J. Anal. Math

      巻: 121 ページ: 317-351

    • DOI

      10.1007/s11854-013-0038-6

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Large time behavior of the solution for a two dimensional semilinear elliptic equation2013

    • 著者名/発表者名
      M. Fila, K. Ishige, and T. Kawakami
    • 雑誌名

      Asymptot. Anal

      巻: 85 ページ: 107-123

    • DOI

      10.3233/ASY-131183

    • 査読あり
  • [学会発表] Maximal L^1 regularity for heat equations and application to compressible Navier-Stokes-Poisson system2014

    • 著者名/発表者名
      T.Ogawa
    • 学会等名
      Workshop ``Harmonic Analysis for Nonlinear Partial Differential Equations"
    • 発表場所
      Santa Barbara, CA, USA.
    • 年月日
      2014-03-28 – 2014-03-28
    • 招待講演
  • [学会発表] 熱方程式の初期値問題のL^1 最大正則性原理の 最適性について2014

    • 著者名/発表者名
      小川卓克
    • 学会等名
      日本数学会 2014年度年会 実関数論分科会 一般講演
    • 発表場所
      学習院大学, 東京
    • 年月日
      2014-03-15 – 2014-03-18
  • [学会発表] Extremal solutions to Liouville-Gelfand type elliptic problems with nonlinear Neumann boundary conditions2014

    • 著者名/発表者名
      F. Takahashi
    • 学会等名
      名古屋微分方程式研究集会
    • 発表場所
      名古屋大学,名古屋市
    • 年月日
      2014-03-12
    • 招待講演
  • [学会発表] Extremal solutions to Liouville-Gelfand type elliptic problems with nonlinear Neumann boundary conditions2014

    • 著者名/発表者名
      高橋太
    • 学会等名
      2014年春季年会
    • 発表場所
      学習院大学,東京
    • 年月日
      2014-03-12
  • [学会発表] Asymptotic profiles of solutions to some hyperbolic type equations2014

    • 著者名/発表者名
      川島秀一
    • 学会等名
      熊本大学応用解析セミナー
    • 発表場所
      熊本大学,熊本市
    • 年月日
      2014-02-27 – 2014-02-27
  • [学会発表] Asymptotic behavior of solutions to some hyperbolic type equations2014

    • 著者名/発表者名
      川島秀一
    • 学会等名
      平成25年度藤田保健衛生大学数理講演会
    • 発表場所
      藤田保健衛生大学病院, 豊明市
    • 年月日
      2014-02-21 – 2014-02-21
    • 招待講演
  • [学会発表] Parabolic power concavity and parabolic boundary value problems2014

    • 著者名/発表者名
      石毛和弘
    • 学会等名
      HMA セミナー・冬の研究会 2014
    • 発表場所
      広島大学,東広島市
    • 年月日
      2014-01-10
    • 招待講演
  • [学会発表] Extremal solutions to Liouville-Gelfand type elliptic problems with nonlinear Neumann boundary conditions2013

    • 著者名/発表者名
      F. Takahashi
    • 学会等名
      Seminari Analisi Nonlineare
    • 発表場所
      University of Milan,Italy
    • 年月日
      2013-12-10
    • 招待講演
  • [学会発表] Threshold for the large time behavior of solutions to degenerate drift-diffusion system in between critical exponents2013

    • 著者名/発表者名
      小川卓克
    • 学会等名
      北九州地区における偏微分方程式研究集会
    • 発表場所
      小倉リーセントホテル, 北九州市
    • 年月日
      2013-11-30 – 2013-11-30
    • 招待講演
  • [学会発表] ある高階の双曲型方程式について2013

    • 著者名/発表者名
      川島秀一
    • 学会等名
      北九州地区における偏微分方程式研究集会
    • 発表場所
      KMMビル,北九州市
    • 年月日
      2013-11-30 – 2013-11-30
    • 招待講演
  • [学会発表] Threshold for the large time behavior of solutions to degenerate drift-diffusion system in between critical exponents2013

    • 著者名/発表者名
      小川卓克
    • 学会等名
      金沢大学 理学部 解析セミナー
    • 発表場所
      金沢大学 理工学域, 金沢市
    • 年月日
      2013-11-22 – 2013-11-22
    • 招待講演
  • [学会発表] Asymptotic behavior of least energy solutions for a 2D nonlinear Neumann problem with large exponent2013

    • 著者名/発表者名
      高橋太
    • 学会等名
      偏微分方程式セミナー
    • 発表場所
      北海道大学,札幌市
    • 年月日
      2013-11-19
  • [学会発表] L^1 maximal regularity and the local existence result for the compressible Navier-Stokes-Poisson system in a critical space2013

    • 著者名/発表者名
      T. Ogawa
    • 学会等名
      Mathematical Analysis of Nonlinear Partial Differential Equations
    • 発表場所
      Kyushu University, Fukuoka
    • 年月日
      2013-11-13 – 2013-11-15
    • 招待講演
  • [学会発表] 熱方程式の解の凸性 I, II2013

    • 著者名/発表者名
      石毛和弘
    • 学会等名
      第3回室蘭非線形解析研究
    • 発表場所
      室蘭工業大学,東室蘭市
    • 年月日
      2013-11-01 – 2013-11-02
    • 招待講演
  • [学会発表] Existence of solution to compressible Navier-Stokes-Poisson system in a critical space and L^1 maximal regularity2013

    • 著者名/発表者名
      小川卓克
    • 学会等名
      研究集会 Liner and Nonlinear Waves
    • 発表場所
      ピアザ淡海, 津市
    • 年月日
      2013-10-31 – 2013-11-02
    • 招待講演
  • [学会発表] Asymptotic behavior of solutions to the generalized cubic double dispersion equation2013

    • 著者名/発表者名
      S. Kawashima
    • 学会等名
      RIMS Workshop: Kinetic Modeling and Related Equations:
    • 発表場所
      Rakuyu Kaikan, Kyoto
    • 年月日
      2013-10-28 – 2013-10-30
    • 招待講演
  • [学会発表] Asymptotic profile of solutions to the generalized cubic double dispersion equation2013

    • 著者名/発表者名
      川島秀一
    • 学会等名
      広島微分方程式研究会
    • 発表場所
      広島大学, 東広島市
    • 年月日
      2013-10-11 – 2013-10-12
    • 招待講演
  • [学会発表] Ill-posedness for quadratic nonlinear Schronger equation in low dimensions2013

    • 著者名/発表者名
      T.Ogawa
    • 学会等名
      University of Califorina Santa Barbara, PDE seminar
    • 発表場所
      Santa Barbara, CA, USA.
    • 年月日
      2013-10-04 – 2013-10-04
    • 招待講演
  • [学会発表] Asymptotic behavior of least energy solutions for a 2D nonlinear Neumann problem with large exponent2013

    • 著者名/発表者名
      高橋太
    • 学会等名
      2013年秋季総合分科会
    • 発表場所
      愛媛大学
    • 年月日
      2013-09-26
  • [学会発表] Asymptotic behavior of least energy solutions for a 2D nonlinear Neumann problem with large exponent」2013

    • 著者名/発表者名
      F. Takahashi
    • 学会等名
      YanYan Li 教授主催セミナー
    • 発表場所
      Beijing Normal University, 中国
    • 年月日
      2013-09-12 – 2013-09-13
  • [学会発表] Extremal solutions to Liouville-Gelfand type elliptic problems with nonlinear Neumann boundary conditions2013

    • 著者名/発表者名
      F. Takahashi
    • 学会等名
      3rd Italian-Japanese Workshop on Geometric Properties for Parabolic and Elliptic PDE's
    • 発表場所
      東京工業大学
    • 年月日
      2013-09-02
    • 招待講演
  • [学会発表] Convergence for a 2D elliptic problem with large exponent in nonlinearity2013

    • 著者名/発表者名
      F. Takahashi
    • 学会等名
      Equadiff 13
    • 発表場所
      Charles University, Prague, Czhech
    • 年月日
      2013-08-26
  • [学会発表] Parabolic power concavity and parabolic boundary value problems2013

    • 著者名/発表者名
      石毛和弘
    • 学会等名
      Equadiff 2013
    • 発表場所
      Charles University, Prague
    • 年月日
      2013-08-26
  • [学会発表] L^1 maximal regularity and the local existence result for the compressible Navier-Stokes-Poisson system in a critical space2013

    • 著者名/発表者名
      T.Ogawa
    • 学会等名
      第38回 札幌における偏微分方程式研究集会
    • 発表場所
      北海道大学, 札幌市
    • 年月日
      2013-08-21 – 2013-08-21
    • 招待講演
  • [学会発表] Convergence for a 2D elliptic problem with large exponent in nonlinearity2013

    • 著者名/発表者名
      F. Takahashi
    • 学会等名
      大阪大学ワークショップ
    • 発表場所
      待兼山会館,豊中市
    • 年月日
      2013-08-20
    • 招待講演
  • [学会発表] Convergence for a 2D elliptic problem with large exponent in nonlinearity2013

    • 著者名/発表者名
      F. Takahashi
    • 学会等名
      第6回環太平洋数学会議
    • 発表場所
      札幌コンベンションセンター, 札幌市
    • 年月日
      2013-07-15
    • 招待講演
  • [学会発表] 非線型 Neumann 境界条件付き Liouville-Gelfand 型問題の極解の正則性2013

    • 著者名/発表者名
      高橋太
    • 学会等名
      キックオフセミナー山形
    • 発表場所
      ヒルズサンピア山形,山形市
    • 年月日
      2013-07-15
  • [学会発表] Dissipative structure for symmetric hyperbolic-parabolic systems with non-symmetric relaxation2013

    • 著者名/発表者名
      川島秀一
    • 学会等名
      キックオフセミナー山形
    • 発表場所
      ヒルズサンピア山形, 山形市
    • 年月日
      2013-07-14 – 2013-07-16
  • [図書] 非線型発展方程式の実解析的手法 (シュプリンガー現代数学シリーズ)2013

    • 著者名/発表者名
      小川卓克
    • 総ページ数
      430
    • 出版者
      丸善出版
  • [備考] 科学研究費補助金 基盤研究(S) 「数理モデルにおける非線形消散・分散構造の臨界構造の未開領域解明」

    • URL

      http://ogawa-kibans.math.tohoku.ac.jp/index.html

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公開日: 2016-06-01  

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