| 研究課題/領域番号 |
25247004
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
斎藤 恭司 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 特任教授 (20012445)
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| 研究分担者 |
高橋 篤史 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (50314290)
柏原 正樹 京都大学, 数理解析研究所, 研究員 (60027381)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 原始形式 / 導来圏 / 鏡像対称性 / 楕円リー環 / Artin 群 / 歪増大函数 / 共型場 / Geppner特異点 |
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| 研究実績の概要 |
交付申請時の4点（１．原始型式の理論、２．原始形式に関連する(無限次元)リー環、３．Ａ_{semi-infinite},Ｄ_{semi-infinite},D_4 等の周期写像、４．自由因子の補集合の基本群のモノイド）の研究を実施する計画を述べたのでそれぞれに応じて説明する。
１．特異点を複数持つ函数族に対するde Rham コホモロジーの連接性の証明に未完成の所が見つかり再提出を行った。他方ロシア人物理学者Belavin氏等と共型場の理論から定まる分配函数と原始型式から定まる分配函数を同一視するプログラムを提起され､Geppner 特異点の場合について、一連の数値的結果を得た、現在その結果の原稿を執筆中。二年前の研究会のProceedingsの編集作業は現在続行中である(物理関連の執筆に進展があった）。
2. 楕円Li環の表言論について進展は無い。古典的な単純代数群の場合のKostanto-Kirirov形式と原始型式との同一視については吉永氏との共同作業を進めており、現在その両者に由来するflat structure (Frobenius structure)の同一視まで出来た。
3. 本年度の進展は無い。
４．研究協力者として雇用した石部氏との共同のモノイド研究が大幅に進んだ。従来Artin群はBrieskorn-Saitoで導入した単純生成系で記述されてきたが､今年度はBessis による双対生成系による記述を行うとその零点が再び区間[0，1]に含まれるという現象の証明を与えた。又その証明は直交多項式との関連を示唆するものでさらなる解明が必要と思われる（現在投稿中）。その一般化としてＣｈａｐｏｔｏｎによる2変数理論の場合の根の研究に着手した。又その証明と関連して増大函数の逆転公式のモノイド構造を用いる証明が見つかり､現在執筆中。Elliptic Artin group を完全に一般的な形で構成してその上のSL(2,Z)作用まで決定する作業を斎藤義久氏と開始した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
原始型式の理論は関わる諸問題が多岐にわたるために、一つ一つに対応する必要があり(例えば前年度では鏡像対称性という事で、Gromov-Witten theoryやFJRW theoryとの関係が問題になったが､今年度は共型場の理論との関係が問題になった等）全体をまとめると言う事は容易でないが、大きく見て､間違いなく理論は適用範囲を広げ進展していると言える。
その中での新たに広がった対象を含む様な基礎理論作りが改めて重要になってきており、現在進行中の連接性の証明のみで無く、高次剰余理論も新たな設定の下に拡張して設定する必要がある。Belavin等との共同研究は共型場の理論と原始型式の理論とをつなげるものとして､注目しており、今年度得られたGeppner 特異点の分析はその第一歩となる。
石部との共同研究のdual Artin monoid のSkewgrowth functionの零点の研究はこれまでに類例の無い新結果である。元のArtin monoid に関する類似予想は未だ解けていないのに比してdual Artin monoid の場合は
直交多項式のRodrigues公式を用いるなど奇想天外な展開を示しておりその意味を深める必要がある。これに触発されて、モノイドレベルでの逆転公式の証明が出来たのも､理論全般から見て重要な進捗である。そのレベルで二変数理論が出来るかどうかは現在検討を進めている
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| 今後の研究の推進方策 |
現在執筆中ないし校正中の仕事五編（Coherence of direct image of De Rham complexes,
Zero loci of skew growth fucntions for dual Artin monoids, Geppner Singularities, Motivic Inversion formula (tentative), Zero loci of Chapoton triangles (tentative)) については、その完成を目指す。
新たに拡張された領域での原始形式理論の基礎理論となる高次剰余理論のを建設する必要がある。出来ればそれを随伴剰余写像にも適用することにより、吉永との共同研究の基礎を与えたい。更には、その剰余理論を形式級数では無く､収束級数で扱うことが望ましい。
石部との共同のdual Artin monoid の零点の研究はその後いくつかの発展方向が考えられる。元々あったChapotonによる二変数多項式そのものの零点を考えることは最も基本的課題である。一方その二変数をメビウス函数の二変数と読み直すことにより、Artin monoidの場合の理論の二変数化、一般的な二変数skew growth fucntion の理論の建設など､今後取り組むべき課題は多い。
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