| 研究課題/領域番号 |
25287020
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
石井 豊 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (20304727)
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| 研究分担者 |
浅岡 正幸 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (10314832)
荒井 迅 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80362432)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | Henon 写像 / Julia 集合 / homotopy kernel |
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| 研究実績の概要 |
今年度は主に Warwick 大学の John Smillie 氏と共に、２次多項式の Julia 集合を記述するオートマトンについて研究した。拡大的な２次多項式が与えられたとき、Hubbard tree が構成される。一方で、その多項式の Julia 集合の近傍を適切に取ることによって expanding system が構成出来る。このような状況のもとで、以前 Smillie 氏と共に構成した homotopy kernel を考える。ただしここでは Hubbard tree と高々一回しか交わらないパスに制限して homotopy kernel を定義する（これを tight homotopy kernel と呼ぶ）。このとき我々は、オートマトンとしての tight homotopy kernel が定める同値関係が Julia 集合を完全に再現する、つまり商空間上のシフト写像が Julia 集合上の多項式力学系と位相共役になることを証明した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
上述のように、今年度は２次多項式の Julia 集合を記述するオートマトンを構成することに成功した。そしてそのオートマトンとしての tight homotopy kernel が定める同値関係が Julia 集合を完全に再現する、つまり商空間上のシフト写像が Julia 集合上の多項式力学系と位相共役になることを証明した。このように Julia 集合の組み合わせ論的理解は深まっている。以上のことから、研究は順調に進展していると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
力学系の相空間における第一ステップ、つまり Julia 集合の位相不変量の構成にはまだ至っていない。この点に関してはGottingen 大学の Laurent Bartholdi 氏との議論を通して iterated monodromy group との関連を今後は考察する予定にしている。その一方で、同じく Laurent Bartholdi 氏との議論から、本研究の最終目標である相空間とパラメータ空間との対応に関するヒントを得た。これは少なくとも２次多項式の場合には数学的に厳密に定式化可能であると思われるので、まずは Henon 写像の toy model としてこの１次元の問題を定式化・解決することを今後の方策とする。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
前年度からの繰り越しとしておおよそ１４万円が次年度に引き継がれた。これは当初予定していた共同研究者の所属機関への国内出張が、先方の時間の都合などで実現出来なかったからである。
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| 次年度使用額の使用計画 |
当初の予定通り、共同研究者の所属機関への国内出張を数回行うことを計画している。
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