| 研究課題/領域番号 |
25400073
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
池田 薫 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (40232178)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | ユニタリー表現 / 戸田格子 / Symplectic幾何 / ゲージ理論 / 葉層構造 |
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| 研究実績の概要 |
実簡約群であるGL_n(R)の主系列表現について研究を行った. 一般の実簡約群の主系列表現の研究へ進展させて行きたい. よく知られているように主系列表現は連続なパラメーターをもつユニタリー表現である. その連続パラメーターの幾何学的な意味づけを考えてみた. それはなにかしらもとのリー群Gよりも小さい群, たとえば放物型部分群の指標と関連付けられるようだ. 私はG=GL_n(R)の放物型部分群Pを旗多様体G/Pが局所的にHeisenberg部分群Uと同型となるようにとりG/PにPoisson構造を導入した. Uの中心Rを考える. G/PはUを局所座標として張り合わせた多様体である. 各UをRで割りその割ったアファイン空間を張り合わせて出来た多様体を射影的旗多様体とよびP(G/P)と書いた. Rの指標を考えることによりP(G/P)上の複素直線束を定義できる. この直線束の接続を定義する.
今G/Pに戸田格子のHamiltonian flowによるトーラス作用を考える. このトーラス作用により出来るG/P内の2n-4次元極大積分曲面をSと置く. このSからP(G/P)上の接続が定義できる. こうして定義した接続による曲率形式でP(G/P)にシンプレクティック構造が定義される. 曲面Sは戸田格子のエネルギーの値によりパラメトライズされる. エネルギーの値を変化させることによりG/Pに葉層構造があらわれる. その葉層構造の葉各々にP(G/P)のシンプレクティック構造が対応する. 戸田格子のハミルトニアン作用はこの葉を不変にする. さらにPの作用は葉の上では恒等写像になる. つまり戸田格子の作用, Pの作用をP(G/P)に射影すればそれらはP(G/P)のシンプレクティック写像, シンプレクティック作用になる. 本研究ではそれらPのユニタリー表現に持ち上げ, Gの誘導表現を導いた.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ポアッソン多様体である旗多様体G/Pからいかにしてシンプレクティック多様体を構成するかという問題が最初の出発点であった. G/Pは局所的には2n-3次元Heisenberg群と同型なためその中心で割ってできるアファイン空間を張り合わせ射影的旗多様体P(G/P)を構成した. 同時にこの中心の指標を用いてP(G/P)上に複素直線束が定義できた. G/P上に2n-4次元の極大積分曲面を考えることによりこの直線束の接続を定義することができた. この曲面として戸田格子のエネルギー等曲面をとることが出来る. すると戸田格子のハミルトニアン作用でこの曲面は不変となりPの作用ではこの曲面からさだまる接続は保たれる. よってハミルトニアン作用の射影的旗多様体への射影はシンプレクティック同相写像となり接続, すなわちシンプレクティック構造を保つPの作用と可換になる. このことからこのP(G/P)上の直線束の大域切断の上にPのユニタリー表現, そこからのGの誘導表現を定義できた. そして戸田格子のハミルトニアンフローのP(G/P)への射影により定義されるシンプレクティック写像はこれらGのユニタリー表現のintertwinerになっていることを証明できた. 今はA型実簡約群のGL_n(R)についてのみの結果であるが概ね研究は順調に進んでいると考える.
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| 今後の研究の推進方策 |
実簡約群の既約ユニタリー表現の連続なパラメーターを持つ主系列表現を考える. 主系列表現はコンパクト群には表れない. 今後の研究課題としてこの連続パラメーターの幾何学的な意味を考えて行きたい. いままでの研究で戸田格子のエネルギーでパラメトライズされるGL_n(R)の既約ユニタリー表現を考察した. これは等エネルギー面でさだまるP(G/P)上の複素直線束の接続の分類に他ならない. そもそもKostantの提唱した幾何学的量子化の理論はシンプレクティック多様体上の接続によるユニタリー表現の分類を目的としたものである. 興味ある問題はヤンーミルズ方程式をどのようにして既約ユニタリー表現の問題に取り込むかである. これは表現論のみならず幾何学の問題, ゲージ理論をはじめとした数理物理の問題とも深く関わっていると考える.
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