| 研究課題/領域番号 |
25400073
|
|---|
| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
|---|
研究代表者 |
池田 薫 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (40232178)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2018-03-31
|
| キーワード | 幾何学的量子化 / 既約ユニタリー表現 / 簡約リー群 / シンプレクティック多様体 / 戸田格子 |
|---|
| 研究実績の概要 |
連結リー群の既約ユニタリー表現の分類問題について多くの研究がなされてきた. コンパクトリー群に関してはボレル・ヴェイユの幾何学的構成法, 半単純リー群に関するHarisc-Chandraの分類, W.Schmidによる指数理論を用いた半単純リー群の離散系列の構成などが挙げられる. べき零群や可解リー群の既約ユニタリー表現の分類・構成において使われたKirillov, Kostantの余随伴軌道の方法はその一般化として幾何学的量子化の理論に発展していった. 幾何学的量子化とはシンプレクティック多様体を正準量子化するための理論で大まかに前量子化と偏極の２つの部分から成り立つ. 前量子化とはシンプレクティック多様体上の関数を微分作用素に対応させること. 偏極とは正準量子化のためにシンプレクティック多様体上に位置方向と運動量方向の２つを決めてやることである. 問題は具体的にシンプレクティック多様体(M,ω)とその上の接続つき複素直線束を構成しM上の群Gのシンプレクティック作用からGの既約ユニタリー表現を構成するかである. いまG=GL_n(R)としよう. Pをそのレビ部分群がGL_1(R)×GL_n-2(R)×GL_1(R)の上三角放物型部分群とする. 旗多様体G/Pを考える. さてG/Pは2n-3次元の接触多様体となる. G/Pは局所的に2n-3次元ハイゼンベルグ群になるがG/Pは2n-4次元シンプレクティック多様体,P(G/P),を底空間にもつ主R束とも見なせる. ここでRはUの中心である. Rの指標を考えるとP(G/P)上の複素直線束Lが定義出来る. 戸田格子の等エネルギー面をコンパニオン埋め込みでG/Pに実現する. この2n-4次元超曲面はLの接続を定義する. こうした舞台設定の上で幾何学的量子化の議論を実現化して行く.
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
理論の一般化における見通しがついた. 今回はG=GL_n(R)に限定して具体的な行列計算を用いて幾何学的量子化の研究を行った. 一般の例えばGが半単純群のときはどうしたら良いのかという問題が残っていた. G/PはGL_n(R)のガウス分解を用いることにより局所座標を張り合わせる形で実現出来る. GL_n(R)のガウス分解は線形代数における掃きだし法で理解出来る. では半単純群リー群のガウス分解とはなんであろう. Gを半単純リー群としG_0をその単位元の連結成分とする. g=LieGとしhをgのカルタン部分代数とする. すると(g,h)でルート系⊿がさだまる. 正のルートベクトルとhが張る部分空間をbとし負のルートベクトルが張る部分空間をn_と置く. g=b+n_よりeの十分小さい近傍ではU=N_Bと分解される. ここでn_=LieN_, b=Lie B. G_0はこのUの有限個の積であらわされる. AdBはキリング形式によるノルムを不変にするのでUもAdBで不変. よってG_0の任意の元はN_Bの積に分解出来る. これがG_0のガウス分解である. 連結成分の間の変換群G/G_0はWyle群に埋め込めるのでG全体をWyle群とG_0の半直積とみなせばガウス分解がG全体で考えられる.
|
| 今後の研究の推進方策 |
幾何学的量子化はシンプレクティック多様体である底空間上の複素直線束の接続αによってGの既約ユニタリー表現の分類を行う幾何学的構成法である. ユニタリー表現論の究極の目的はその素粒子論への応用である. 現在私の研究は旗多様体G/Pをあるシンプレクティック多様体P(G/P)を底空間とする主R束と捉え, 付随する複素直線束の大域切断上にGの既約ユニタリー表現を構成実現させるところまで到達している. ここでRはハイゼンベルグ群の中心である. 既約ユニタリー表現の同値類は戸田格子の等エネルギー曲面により定まる直線束上の接続により分類される. さて既約ユニタリー表現を接続を通じて戸田格子のエネルギーという物理的な量に関連付けることが出来た. 物理的な事象が表現論を用いて記述されるということではなくリー群の既約ユニタリー表現論が素粒子の振る舞いを規定しているのではないかと考えていた. もしGの表現に何かしら正当な制限を設けたとき戸田格子のエネルギーが制約を受けるかも知れない. これは先ほどの問題のとtoy modelを与えていると考えられる. さらにもしこの方法でP(G/P)の主R束上にYang-Milles接続が構成できたとする. その際対応する既約ユニタリー表現は構成できるだろうか. また構成できたとしてどのような性質を持っているだろうか. こうした観点から研究を進めて行きたい.
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
今年度は論文の推敲に多大な時間を費やしたため国内外への出張が減少した. そのため通常ならば旅費で費やされる分の研究費が京都への１度きりになってしまい上記表のような次年度使用額が生じた. 幾何学的量子化の研究の際必要なシンプレクティック多様体の構成で旗多様体G/Pのポアッソン構造を考察する必要があった. その際私の研究では線形なポアッソン括弧が現われたがこのような等質空間を考えるときはドリンフェルトらの与えた古典r行列に基づく２次のポアッソン構造が自然であるという問題提起に答えるためかなりの時間を思索と文献の読み込みに費やした.
|
| 次年度使用額の使用計画 |
なぜ線形なポアッソン構造が現われるかについては私なりの解答を見出した. 私は旗多様体G/Pをハイゼンベルグ群と同型なn!枚の局所座標で覆う形で定義を行った. 実はこれらの局所座標系は単にアファイン空間とみるのではなくGの連結成分の軌道空間とみなしたほうが自然である. すなわち旗多様体G/Pを軌道体とみなせば軌道法で現われるKostant-Kirillovの線形なポアッソン構造であることのほうが自然であることが分かった. 2016年度は私の得たこの知見を発表するため積極的に国内外への出張を考えている.
|
