| 研究課題/領域番号 |
25400073
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
池田 薫 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (40232178)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | ユニタリー表現論 / 旗多様体 / ハイゼンベルグ代数 / 偏極 / Gauss分解 |
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| 研究実績の概要 |
本研究は幾何学的量子化というシンプレクティック多様体へのLie群の作用から連結Lie群のユニタリー表現を系統的に構成するという未解決問題に対する可積分系戸田格子の理論を用いた新しいアプローチである. 具体的には以下の方法で研究を遂行した(i)G=GL_n(R)としその旗多様体X=G/Bを考える. Gauss分解によりXは下三角べきゼロ群Nと同相なn!枚のアファイン座標系で覆えることが分かる. さらに放物型部分群PをY=G/Pがn!枚のハイゼンベルグ群と同相なアファイン空間で覆えることもわかる. (ii)UをYのアファイン座標とするUはハイゼンベルグ群と同相だからUをその中心群Rで割った商空間U_R=R|Uを考えそれらを張り合わせたオービフォルドP(Y)を定義する. (iii)各U_RでRの指標群を用いた複素直線束L_Uを定義しそれらを張り合わせP(Y)上の直線束Lを定義する.(iV)Lに接続を定義しその曲率としてP(Y)上にシンプレクティック構造を定義する. (v)Lの接続は以下のように定義する.YのLax作用素表示を考えると戸田格子の等エネルギー面のYへの引き戻しが考えられる. この引き戻した曲面を用いてLに接続そしてP(Y)上にシンプレクティック構造を定義する. 戸田格子のハミルトニアン流はP(Y)に微分同相写像を誘導する. Lの接続,よってP(Y)上のシンプレクティック構造の定義よりこの誘導された微分同相写像はシンプレクティック構造を保つ. つまり同値なシンプレクティック構造の族が得られたことになる. (vi)Kostantの幾何学的量子化の手法により今得られたシンプレクティック構造に対しLの大域切断Γ(L)上にGのユニタリー表現を構成する. シンプレクティック構造の同値性よりこれらの表現はすべてユニタリー同値である. (vii) 戸田格子の保存量から偏極が決まる.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
旗多様体G/Bの局所座標を構成するためGにおけるGauss分解を考える必要があった. GL_n(R)の場合どのようなGの元gをとってもn次置換群の元σが存在しσgはGauss分解可能となる. これは線形代数の掃きだし法を使い証明できる. 研究計画申請時にも述べたがこのGauss分解の定理をより一般のGへの拡張が喫緊の課題であった. この問題は局所自明性の定理としてGがsplitな連結簡約Lie群のときJantzenの教科書に載っていた. 私はsplitな連結半単純Lie群の場合にトポロジカルな方法で別証明を与えた. 半単純Lie群のGauss分解の研究は本研究にも関連する戸田格子の特異点の分類にも思わぬ進展を与えた. Gauss分解の定理はどのようなGの元がGauss分解不可能化を教えてくれる. Gauss分解不可能な点は戸田格子の特異点となる. 特異点は旗多様体上の特異因子として表されるが次の結果を得た(i)この特異因子は旗多様体の最大胞体上の下三角べきゼロLie群の部分群の軌道として表される. (ii)より見やすい形としてWeyl領域の側面を用いて特異因子が分類できる. この対応は旗多様体への群作用から旗多様体の基本群へのある種の双対性から得られる.
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| 今後の研究の推進方策 |
研究の進行状況の欄でも述べたが一般のsplitで連結な半単純Lie群の場合において旗多様体G/Pがハイゼンベルグ群の張り合わせとなるものが構成できないだろうか？という問題を考えてみたいと思う. 放物型部分群PがどのようなものであってもG/PはWeyl群の位数分だけのべきゼロ群と同型な開被覆で覆えることは同じである. また例えばこのべきゼロ群の中心で各開被覆を割り軌道体P(G/P)を構成し, その中心の指標を用いてG/Pに接続を定義しP(G/P)上にシンプレクティック構造を定義するところまでは同じだと考えられる. この接続はGL_n(R)のときと同様に戸田格子の等エネルギー面の引き戻しにより定義される.
G=GL_n(R)のときG/Pがハイゼンベルグ群の張り合わせとなるようなPが容易に見つかった.
局所座標がハイゼンベルグ群となることによりP(G/P)における偏極構造の入れ方が分かり易くなった. 戸田格子のハミルトニアン流方向と保存量方向, つまり戸田格子の作用ー角変数がとれてそれがそのままP(G/P)に偏極の構造を与える. そして幾何的量子化のプロセスをへて既約なユニタリー表現の族が得られる. AuslanderとKostantは指数関数型のタイプIの可解Lie群の場合偏極を与え既約ユニタリー表現の族を構成している. しかしまだGが半単純Lie群の場合への一般化はされていない. いずれにせよ一般化はシンプレクティック多様体を具体的に構成し幾何学的量子化のプロセスに則った方法で実現されると思われる. そしてG=GL_n(R)のときのような戸田格子が絡んだ表現の構成が可能かどうか試してみたい. さて研究の興味は別方向へも向いている. 戸田格子の特異点の研究で偶然現われたLangrands双対性の研究である. Gの旗多様体への作用がそれとは独立のの旗多様体の基本群の表現を与えるのだ.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
splitで連結な半単純Lie群のGauss分解の問題に集中しており国内国外への出張の機会がなかった. 他大学の研究者とメールのやり取りで意見交換を済ませたため旅費がかからなかった.
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| 次年度使用額の使用計画 |
Gauss分解は旗多様体の普遍被覆群を考えれば可能であるという新しい知見を得, また戸田格子の特異点を連結半単純Lie群のWeyl領域の壁により分類できるという新しい結果も得たのでさまざまな研究集会に出かけこの結果を発表する予定である. また６年前に購入したi-Padのバッテリーが交換の時期を迎えている. 今年度は旅費および物品費により前年度の残りを含め使いきる予定である.
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