研究課題
基盤研究(C)
本年度は、非線形常微分方程式の分岐曲線の大域的・局所的な漸近解析と逆問題の研究を行った。特に常微分方程式に特有のアプローチにより、次の２つのテーマに関し、以下のような成果を得た。１. 非線形常微分方程式の分岐曲線の漸近解析に関しては、大域的・局所的な振る舞いの研究を行った。まず、非自励の非線形項を持つロジスティック方程式に関し、解のノルムが無限大になるときの分岐曲線の漸近挙動を研究し、詳細な公式を得ることに成功した。また、分岐曲線の局所的な振る舞いに関しては、Crandall-Rabinowitzの古典的な理論によって、理論上は詳細な漸近展開は可能であることが知られてはいた。しかし、現実にその理論を適用すると、分岐曲線の局所的な漸近展開を求めるためには、解の漸近展開を求める必要があり、実際の計算を遂行する際にはかなり困難をともなう。そこで、自励系の常微分方程式に対して有力なアプローチであるTime-Map法を適用し、分岐曲線の局所的な漸近展開を容易に求めることに成功した。２. 逆問題に関しては、１で求めた分岐曲線の大域的な漸近挙動から、ある条件下で、未知の非線形項を特定することに成功した。また、非線形項がべき乗タイプのロジスティック方程式に、無限大で指数的に減少するような非常に弱い摂動を加えた場合には、分岐曲線の大域的漸近挙動は、代数的減少というオーダーでは判別できないことが分かった。このことから、分岐曲線の大域的挙動から未知の非線形項を決定するには、あらかじめ、２つの未知の非線形項に関するなんらかの条件が知られている必要があることが判明した。
2: おおむね順調に進展している
分岐問題の順問題に関しては、目標であった大域的漸近挙動に関する公式を得た。逆問題については、未知の非線形項を分岐曲線の大域的性質で特徴づけが可能であるという成果を得た。したがって、おおむね順調に進展しているといえる。
本年度得られた非線形常微分方程式の分岐問題と逆問題に関する成果を踏まえ、非自励の非線形項や摩擦項を含む非線形楕円型偏微分方程式の分岐問題の考察を進めていく。また、非線形項が具体的な背景をもつような場合に関して、分岐曲線の大域的・局所的な構造を調べる。さらに、順問題で確立された分岐曲線に関する漸近展開公式を逆問題の解析に応用していくことに取り組む。
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すべて 雑誌論文 (4件) (うち査読あり 4件) 学会発表 (7件) (うち招待講演 5件)
Nonlinear Analysis
巻: 95 ページ: 796-808
10.1016/j.na.2013.10.015
Electronic Journal of Differential Equations
巻: 2013 ページ: No. 117, 1-14
Rocky Mountain Journal of Mathematics
巻: 43 ページ: 343-359
International Journal of Mathematical Analysis
巻: 7 ページ: 1531-1541
10.12988/ijma.2013.3232
