| 研究概要 |
平成26年度の主要な結果を二つ述べる。
まずK2 群に値を持つ、結び目の不変量を構成した事である。正確には、任意の無限体Fに対し, 結び目のSL 2 (F )-放物表現に関し, Milnor-Witt K2 群への値を構成した. まず筆者はカンドル理論を用いる事で当不変量の非自明な例が無数に存在することを証明した. そして実際, K2 群に関する数論の結果を用いる事で、非自明な値をもつ結び目表現を多く例示できた. そして本研究から二つ応用を与えた. つまり一つ目に, 放物表現のcusp shape に関する状態和公式をえる事ができ, その成果, cusp shapeの計算を容易にした。二つ目に, 左不変順序構造を持つ3 次元多様体の基本群について新しい例示を与える事も出来た。
もう一つの主結果は、球面上(4 次元)Lefschetz 束に対し不変量を導入した事である。この不変量は、任意の写像類群の表現に対し構成可能なほど一般的で、さらに不変量の値は双線型形式にとり興味深い。この双線型形式は局所系係数カップ積により幾何的解釈もできる事も示せた。この不変量の長所として計算機により計算可能であるため、今まで未分類であったLefschetz 束の無限の組を見分ける事ができ、Lefschetz 束と微分構造の差が大きい事を示す具体的例示であった。また一方で、その不変量は位相的な基本的な量を包摂する事も示せた。つまり、最も基本的な表現であるシンプレクティック表現に対し、有理係数ベッチ数や符号数を全て含む事を示した。特に、(比較的簡単な)Lefschetz 束の符号数を(計算機で比較的容易に)計算出来るようになった。
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