| 研究課題/領域番号 |
26310211
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
松本 眞 広島大学, 理学研究科, 教授 (70231602)
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| 研究期間 (年度) |
2014-07-18 – 2019-03-31
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| キーワード | 超一様性 / 擬似乱数 / 準モンテカルロ法 |
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| 研究実績の概要 |
超一様点集合の古典的定義としては、ディスクレパンシーの低い点集合というものが挙げられる。本研究課題では、被積分関数がより高い滑らかさを持つ場合に準モンテカルロ積分をより高速に収束させることができると期待される、Walsh Figure of Merit (WAFOM)の小さい点集合を探索し、準モンテカルロ積分をはじめ、諸科学における一様分布ランダム点集合に取り換えることで高速化や精度の向上を図る。統計科学分野の連携研究者柳原准教授との討論により、統計で広くニーズのある多次元正規分布の累積分布関数に対して高速な算法を与えることが大きなインパクトを持つであろうという考えに至った。先行研究としてはMiwaらによる分割による近似積分アルゴリズム（統計処理ソフトRにインプリメントされている）、Genzらによる古典的超一様点集合による準モンテカルロ積分法（Rにインプリメントされている）、もっとも有名な有料数式処理ソフトウェアであるMathematicaが採用しているGlobal Adaptive法、準モンテカルロ法が挙げられる。大堀龍一との共同研究で得られた低WAFOM点集合を用いて計算機実験をしたところ、少なくとも相関行列が優対角行列の場合、我々の方法は同一の誤差範囲を得るのに数十分の一以下の計算時間しか必要としないことが確認された（修士学生森信輔氏らとの共同研究）。この期待以上の結果が、どのような相関行列に対して成立するのかを実験中である。同時に、このような高速な誤差収束がなぜ得られるのかの数学的解明を行っている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
超一様点集合は、一様ランダム点集合を置き換えるものとして、諸科学において有効であろうという着想のもと、有効な場合を見つけ出して実用に至るというのが本研究課題のテーマである。もっとも可能性が高いと思われる統計科学分野において、まず超一様点集合の有効性を探るというのが当初の計画であった。どのような応用において有効であるかを暗中模索するという計画であったが、統計分野において最も広く用いられている多次元正規分布の計算において、すでに非常に有効であるということが実験的に確認できたという点で、当初の予想よりも早いスピードで成果が上がっている。
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| 今後の研究の推進方策 |
多次元正規分布に対して、WAFOMにより選出された超一様点集合が非常に有効であることが示されつつある。まずはこの実験結果を慎重に吟味しつつ迅速に論文にまとめたい。実験結果だけでも論文発表の価値があると思われるが、以下の理論面を詰めることが望ましいと考えている：(1)相関行列が対角行列に近い場合にのみ有効なのか、そうでない場合にも有効なのか(2)統計処理ソフトRの実装の詳細を調べ、なぜ我々の方法の方がずっと高速なのか理論的に比較する(3)積分範囲を単位超立方体に変換する際に、優対角性を用いた積分変数変換を行っている。予想では、超一様性に対してこの変数変換は相性が悪い（高階導関数のノルムが激しく増大する）はずであったが予想に反して相性が良い。その理論的理由づけ(4)他の超一様点集合との実験的比較、ならびに理論的比較。
この方針で統計分野で成功を収めたのち、諸科学における超一様性の利用についてさらなる展開を図る。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
今年度の研究成果として多次元正規分布の累積関数の高速計算アルゴリズムがあるが、その適用範囲の検証に時間がかかり、今年度中の成果発表とならなかったため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
次年度において、多次元正規分布の累積関数の計算アルゴリズムに関する成果発表旅費、ならびに実験用計算機購入費として用いる。
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