| 研究課題/領域番号 |
26400069
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
小磯 憲史 大阪大学, 理学研究科, 教授 (70116028)
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| 研究分担者 |
川久保 哲 兵庫県立大学, 物質理学研究科, 教授 (80360303)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | リーマン多様体への摂動 / 弾性曲線 / 運動方程式 |
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| 研究実績の概要 |
弾性曲線の運動方程式を Riemann 多様体に一般化するにあたり，まず Lie 群上の運動方程式の解の存在の証明の手法を解析した．Lie 群においては，曲線の各点を左平行移動によって原点に引き戻すことにより，方程式を Lie 環上の方程式に書き直すことが可能である．その点は Euclid 空間の場合と同様であるが，Euclid 空間上の方程式が積分方程式に変換された部分は常微分方程式のままで取り扱うことが必要となる．また，Lie 群においては閉測地線が存在するため，それを排除する評価が新たに必要とされる．
Lie 群を Riemann 多様体に一般化するためには，曲線の各点を左平行移動によって原点に引き戻すことを別のやりかたに置き換える必要がある．そこで，引き戻す代わりに多様体上にあらかじめ正規直交枠を初期曲線の近傍に用意し，その正規直交枠で曲線の接ベクトルと時間微分を測定することによって形式的に Euclid 空間やその単位球面上の方程式に変換することにした．
Lie 群の場合と異なり，そのように変換しても曲線の点情報は消えないが，反復法を適用するにあたっては，一段前の点情報を使うことによって点情報を既知関数として取り扱うことができる．そのような取り扱いをすることによって，Lie 群では 3 つの方程式に分解したが，Riemann 多様体では 4 つの方程式に分解する必要が生じる．また，反復法を適用して得られる収束極限の可積分性の条件も増える．しかしながら，それらの困難は現在までの調査では克服可能であると結論づけている．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
運動方程式を更に分割することによって，ユークリッド空間においては定数であった係数を関数に置き換えても同様な評価が可能であることが明らかになった．
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| 今後の研究の推進方策 |
今後，ユークリッド空間においては定数であった係数を関数に置き換えて同様な評価を実行することにより，Riemann 多様体における解の存在の証明を進める．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
今年度の研究では一般の Riemann 多様体上での解の存在の基本方針を定式化することができた．来年度はその基本方針に基づいて実際の証明を完成させていきたい．
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| 次年度使用額の使用計画 |
現在までに得られた結果とその拡張を研究集会などで発表する．
その準備および旅費として使用する．状況によっては，一部を機材購入費に充てる．
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