| 研究課題/領域番号 |
26400137
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
平田 賢太郎 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (30399795)
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| 研究分担者 |
小野 太幹 福山大学, 大学教育センター, 准教授 (60289270)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | ポテンシャル論 / 半線形楕円型方程式 / 除去可能性 |
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| 研究実績の概要 |
1980年頃から湧出項をもつ半線形楕円型方程式や吸収項をもつ半線形楕円型方程式の正値解に対して，孤立特異点や次元の小さい滑らかな多様体の除去可能性または孤立特異点付近での解の挙動に関する研究が多くの数学者によって成された。これまでの研究ではラプラシアンの符号が一定の場合に考察されたが，本研究では符号の変化を許す非線形項をもつ半線形楕円型方程式について，より一般的な条件のもとで集合の除去可能性について研究し，非線形指数が或る定数より小さい場合に次のことを明らかにした。
（１）ハウスドルフ測度の正則性条件と一様ミンコフスキー条件を満たす閉集合はその次元に関係する増大条件を満たす解に対して除去可能である。
（２）増大条件の最良性を示す特異解が存在する。すなわち，ハウスドルフ測度の正則性条件と一様ミンコフスキー条件を満たすコンパクト集合上に特異点をもちその付近で適当な増大条件を満たす正値解が存在する。
除外集合に対する条件や非線形項に対する条件を緩和することで複雑な図形の除去可能性や様々な方程式に適用することができる。これらの研究成果についてポテンシャル論研究集会や実解析学シンポジウムで発表を行った。
さらに，吸収項をもつ半線形楕円型方程式の正値解についてはより一般にミンコフスキー容量が有限であるコンパクト集合に対して，除去可能性と解の増大条件の間の関係を明らかにすることができた。半線形熱方程式の場合は，放物型距離に関してミンコフスキー容量を考えることにより類似の結果が得られることがわかった。これらの成果についても論文としてまとめた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
半線形楕円型方程式の解に対する除去可能性の研究は計画通り遂行することができ，次年度以降の目的である半線形熱方程式の問題にも着手できているため。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究課題は計画通りに進めることができている。議論を更に発展・改良して準線形偏微分方程式の解の除去可能性について困難な部分を解決できるよう努める。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究代表者および分担者ともに大学業務の都合で当初予定より出張回数が少なくなったため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
研究成果の発表または次の研究の準備のための旅費や研究環境の整備に使用する。
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