Index theorem and Topological surface state

2021 Fiscal Year Final Research Report

• Project Area: Discrete Geometric Analysis for Materials Design
• Project/Area Number: 17H06461
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research on Innovative Areas (Research in a proposed research area)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Review Section: Science and Engineering
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: Furuta Mikio 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50181459)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 五味 清紀 東京工業大学, 理学院, 教授 (00543109) ; 加藤 毅 京都大学, 理学研究科, 教授 (20273427)
• Project Period (FY): 2017-06-30 – 2022-03-31
• Keywords: 指数定理

Outline of Final Research Achievements

Atiyah-Singer index theorem is a formula giving the index of linear elliptic PDE　on a closed manifold topologically. Our main results are (1) a proof of a new formulataion of Atiyah-Patodi-SInger index theorem for manifold with boundary, (2) a new approach to lattice index theorem based on the role of the Wilson we found for the Wilson-Dirac equation on lattices, and (3) a new proof of Bott periodicity theorem based on spectral section.

Free Research Field

幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

純粋数学と物性物理の研究の新らな橋渡しを数学者と物理学者たちとの共同研究で与えた。
（１）4次元的現象が、4次元時空が平坦ではなく境界を持つ場合に物理的な考察と計算に基づいて与えられていた。当研究では4次元的対象を5次元空間に埋め込み、4次元の物理を5次元の幾何学から俯瞰することにより数学的な解明を与えた。
（２）相対論的量子力学のDirac方程式に対しては、格子近似は特有の項（Wilson項）を導入して行われている。今回の研究ではWilson項が数学的に果たす役割を明らにし、この20年進展のなかったパラメータ付のDirac方程式に対しても近似可能であると示した。