2011 Fiscal Year Annual Research Report
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11J08363
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
土岡 俊介 東京大学, 数物連携宇宙研究機構, 特別研究員(PD)
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| Keywords | Khovanov-Lauda-Rouquier代数 / 量子群 / 対称群 / スピン表現 / ヘッケ環 / ブルエ予想 / 導来圏 / 圏論化 |
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| Research Abstract |
非対称なディンキン図形に付随するリー環論に関係するヘッケ環のクラスとして、アフィン・ヘッケ・クリフォード環がある。これはよく知られたA型アフィン・ヘッケ環のスーパー化と見倣せる。
Khovanov-Lauda-Rouquier代数はA型アフィン・ヘッケ環と関連していることがBrundan-KleshchevとRouquierによって証明され、対称群の群代数の次数付が導かれるなどの重要な結果が得られており、このスーパー化を追求するのは重要であろうと思われる。我々は当初、アフィン・ヘッケ・クリフォード環も適切なKhovanov-Lauda-Rouquier代数と関連するだろうと考えたが、コンピューターを用いてそれを期待させないに十分な「反例」を構成した。そしてKhovanov-Lauda-Rouquier代数をスーパー化(箙ヘッケ超代数)し、これがアフィン・ヘッケ・クリフォード環と森田同値であることを証明した。以上は、柏原正樹氏(京都大学数理解析研究所)とSeok-JinKang氏(ソウル大学)との共同研究である。ここで導入された箙ヘッケ超代数は、アフィン・ヘッケ・クリフォード環と森田同値なものの、アフィン・ヘッケ・クリフォード環にはない良い性質を持っていることが予想されており、箙ヘッケ超代数の解析を通じてアフィン・ヘッケ・クリフォード環の未知の性質を解明できると考えている。そのうち我々は「捻じれsl2圏論化」によるスピン対称群のブルエ予想の解決に現在もっとも注力しており、近いうちに達成できると考えている。
この研究のほかに、昨年度に引き続いて量子群の可積分最高ウェイト表現がいつ特殊化で既約性が保たれるのか、という柏原正樹氏の問題に取り組んだ。これはShapovalov行列式の計算に帰着されるのだが、量子群が有限次元単純リー代数に付随している場合以外は何も知られていなかった。本研究では、A,D,Eアフィン・リー環に付随する量子群の基本表現、という特殊な場合ではあるが、この場合に柏原氏の問題を考察した。特にアフィン・リー環がuntwistedな場合は柏原氏の問題の完全な答えを与えた。またこの結果に基づいてKOR予想と等価なHill予想の量子化(v類似)を提案した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
我々が導入したQuiver Hecke superalgebraはアフィン・ヘッケ・クリフォード環と森田同値なものの、すべての既約表現がM型であろうことや、素体上絶対既約であろうことなどの著しい性質が予想されており、対称群のスピン表現におけるブルエ予想の解決に寄与することが期待される。また対称群の次数付きカルタン行列を計算し、これに基づいてクルシャマー・オルソン・ロビンソン予想(KOR予想)の量子化を与えた。KOR予想を解決したわけではないが、この提案する精密化に基づいてKOR予想が解かれれば有益な寄与と考える
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| Strategy for Future Research Activity |
圏論化の研究を進めて、スピン対称群に関するブルエ予想を証明する。具体的には、我々の導入したQuiver Hecke superalgebraがパリティの取り方に依らず量子群の半分や可積分最高ウェイト加群を圏論化し、可積分最高ウェイト加群へのワイル群作用が導来同値に持ち上がること(捻じれsl_2$圏論化)を証明する。そして以上の応用として、スピン対称群の同じpウェイトのブロックの間の(2種類の)導来同値を導く。これはスピン対称群に関するブルエ予想の解決に必要な最初のステップであるが、sl_2$圏論化と同様に他の(代数幾何等の)問題にも応用が期待される。また指標値と分岐則に関する組合せ論を用いて、特殊なスピン・ブロック(これについてはすでに候補がある)についてブルエ予想を解き、上記の導来同値と合わせてブルエ予想を証明する。
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