| Research Abstract |
2次元空間型から同じ曲率を持つ3次元空間型への(特異点を許容した)等長はめ込みとその性質を,3次元空間型の測地線の空間の幾何構造を用いて調べた.
まず,双曲平面から3次元双曲空間への等長はめ込み,すなわち,3次元双曲空間の完備な外的平坦曲面の分類問題について,対応する測地線の空間の曲線を調べた.そこで,測地的完備な外的平坦曲面は測地線の空間のnull-causal曲線と対応することを示した.また,この対応関係を用いて,3次元双曲空間の測地的完備な外的平坦曲面の無限遠での漸近挙動を分類した.
また,3次元双曲空間の測地線の空間は法ガウス写像の値域であるが,その一つの成分である双曲的ガウス写像が正則となる4次元ミンコフスキー時空の限界補足面を調べた.特に,それらの変分学的特徴付けを行い,第二変分公式を導出した.さらに,グラフ型限界補足面の満たす偏微分方程式系を計算しBernstein型定理に対する反例を構成した.
さらに,上記の双曲平面から3次元双曲空間への等長はめ込みの分類における手法を用いて,2次元球面から3次元球面への波面としての特異点を許容した等長はめ込み,すなわち外的平坦閉波面を調べ,特に,3次元球面の外的平坦閉波面を,ある条件を満たす2次元球面の閉曲線の組と対応付けることで分類した.また,その応用として,外的平坦閉波面には双対性が定義できることを示し,双対と合同となる外的平坦閉波面,すなわち自己双対外的平坦閉波面も分類した.さらに,外的平坦閉波面の分類を用いて,焦面の逆問題に対する非存在定理を導いた.
上記に加えて,2次元多様体から3次元多様体への可微分写像において最も頻繁に現れる特異点である交差帽子の幾何学的性質を調べた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
双曲平面の双曲空間への等長はめ込みの分類において用いた,対応する測地線の空間の曲線を記述する上で,測地線の空間の特殊な計量構造を明確化することができた.これは申請書提出時点では発見されていなかった事実である.また,当初計画していた計算機を用いた具体例の計算についても,おおむね予想通りの結果が確認されている.以上から,本申請研究はおおむね順調に進展していると認められる.
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| Strategy for Future Research Activity |
特異点を許容する等長はめ込み,すなわち外的平坦フロントに現れる特異点を調査する.具体的には,特異点の種類を判別する判定法を表現公式のデータの言葉で表すための判定法を構築し,それらを用いて特異点の挙動,個数,また非存在性などを導く.また,ドジッター空間の時間的外的平坦フロントの表現公式を構成する.その際,ドジッター空間をミンコフスキー時空に標準的に埋め込み,双曲空間の測地線とドジッター空間の測地線の対応を,測地線の空間の計量構造を用いて,明示的に記述する.また,それらを用いて,ドジッター空間の時間的外的平坦フロントの特異点を調べる.
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