有限モノドロミー群をもつ超幾何微分方程式のSchwarz map

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640031
• Research Institution: University of the Ryukyus
• Principal Investigator: 加藤 満生 琉球大学, 教育学部, 教授 (50045043)
• Keywords: hypergeometric function / monodreomy group / Schwarz map

Research Abstract

Gaussの超幾何微分方程式の拡張として一般型_<n+1>F_n, Appell型F_1, F_2, F_3, F_4, (k,n)型超幾何微分方程式等がある。本研究では,主にAppell F_2,とimprimitveな_<n+1>F_nに対して以下の研究を行った.
1)有限既約なモノドロミー群をもつAppell F_2は本質的に6種類に分類されるが、そのうちE=E_2(-1/(12);1/6,1/(12);1/3,1/2)は最大位数12・25920のモノドロミー群Gをもつ。その4つの1次独立な解の比により定義されるP^3の中への多価写像,Schwarz map,を調べた。その像SはGが作用する90次超曲面で、SのGによるある意味での商空間S/GはP^3内の有理4次曲面S_4となる。S及びS_4の定義方程式、SからS_4への商写像を具体的に求めた。その際、Maschkeが1888年に求めたGの4つの不変式が本質的に利用された。
2)Imprimitiveな有限モノドロミー群をもつ_nF_<n-1>のSchwarz mapのmapの像Cは方程式y^<mn>+xy^<mq>-1=0の1次独立なn個の解の比で決まるP^<n-1>内の点の(xを動かしたときの)軌跡となる.上の3項mn次方程式の解はx=0で正則な関数で一般型2項関数とも呼ばれ、本研究に重要な役割を果す。また_3F_2とy^3+xy-1=0の関係を考察することにより、3次方程式のカルダノの公式の別証明が得られる。