| Research Abstract |
r次元射影空間の既約なd次数射影曲線Xに対する,Castelnuovo-Mumford regularityreg(X)は,定義方程式,generic initial idealの生成元の次数,ヒルベルト関数などに関係する重要姦不変量であり,本研究までに,reg(X)はd-r+2以下であることが,また上限を満たすような曲線は,非特異な有理曲線であり(d-r+2)-secant lineを持つことが知られていた.これにより、次数が十分に大きければ,reg(X)=eのとき,e-secant lineを持つことが予想されていた.本年度も引き続きこの不変量を中心にして,研究を行った.
1.前年度に,曲線の算術種数p_aに対して,f:=min{P_a, r-2}とするとき,reg(X)はd-r+2-f以下であることを証明したが,今年度は,f:=r-1について考察することで,p_a≧r-1であってXが超楕円曲線でなければreg(X)はd-2r+3以下であることを証明した.これは,昨年度に得られた結果f:=r-2の次の場合に対応している.
2.昨年度に,reg(X)=d-r+1となる有理曲線Xは,(d-r+1)-secant lineを持つことを証明していたが,本年度は,これをさらに精密化し,d-rが4以上で,rが4以上の場合には,Secant lineの方程式を,linear systemのsyzygyによって記述し,ただ一つしか存在しないことを証明した,これにより,埋め込みをlinear systemで与えられた有理曲線が,(d-r)-regularであるかどうかを,定義方程式を計算することなしに判定することができる.さらに,この方法によって,特別な場合の有理曲線は,極小自由分解を計算できることが解った.
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