2012 Fiscal Year Annual Research Report
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12J00745
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
三内 顕義 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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| Keywords | F-regular / F-pure / log terminal / log canonical / F-signature / log Fano / minimal log discrepancy |
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| Research Abstract |
論文『Characterization of varieties of Fano type via singularities of Cox rings』ではSmith-Schwedeの問題と呼ばれる対応の大局版(Globally F-regular varietyとLog Fano varietyの対応)を森夢空間と呼ばれるある種の双有理幾何的の仮定の下で証明した。Smith-Schwedeが提唱した問題は森夢空間の仮定はなかったが、双有理幾何学的視点からいってこの条件が必要であった。
今後の計画としてはこの対応を数値不変量レベルで証明するのが目標である。より具体的にはlog terminal特異点とはその定義からminimal log discrepancyが正になるということだが、正標数の不変量でminimal log discrepancyに対応するものを見つけるということである。すでに候補は存在していて、私が論文『Dual F-signature』の中で定義したDual F-signatureは有限生成加群Mに対し、有理数s(M)を与える不変量で、その値の正値性で正則環、Gorenstein環、F-正則環、F-有理環の特徴付けを与えることができるものだが、それを用いるとs(R)が正であるということとminimal log discrepancyが正であるということが同値だということがわかる。つまり正値性は対応しているのである。しかし残念ながら値そのものは対応していなく、例えば2次元の有理二重点の場合ですら値は異なっている。だがその場合でも適切な加群M(この場合は商をとる前のアフィン平面)をとれば値は一致している。2次元巡回商特異点の場合もマッカイ対応を用いてそのような計算を行うことができていて、最終目標はこの不変量を改良してminimal log discrepancyを書くことだがその過程で、未だ定義の存在しないF-termina1特異点やF-canonical特異点などの理論も定式化できれば深みのある理論になるだろうと考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究計画に書いたコックス環の特異点を用いてログファノ多様体を特徴付けるという目標はMori dream spaceの仮定の下、一般次元で証明を完成させることができた。またシンボリックリース環においても一般の状況でF-純やF-正則になるための判定法を完成させた。
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| Strategy for Future Research Activity |
コックス環の特異点を用いてログファノ多様体を特徴付けるという話についてはMori dream spaceの仮定をはずせるかどうかというのは一つの問題として残っている。今後はこの問題を解く過程で得た技術を用いて代数幾何学的に意義のある仕事をしたいと考えている。またシンボリックリース環においては一般の状況でF-純やF-正則になるための必要十分条件であるため、これ以上改善のしようがないが、'重み付き射影平面を基として計算するのではなく一般のF-正則局面でスタートするという一般化は考えられる。今後の課題としてはこの計算で得た技術を用いて永田予想や、後藤西田渡辺予想への応用をしたいと考えている。
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Research Products
(3 results)
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[Presentation] Dual F-signature2012
Author(s)
三内顕義
Organizer
Korea-Japan Joint Conference in Algebraic Geometry
Place of Presentation
Korea, Gunsan, Ritz-Plazahotel(招待講演)
Year and Date
2012-08-21
