離散時間ロトカ・ボルテラ系による特異値計算アルゴリズムの開発

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13874019
• Research Category: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 中村 佳正 京都大学, 情報学研究科, 教授 (50172458)
• Keywords: ロトカ・ボルテラ系 / 特異値計算アルゴリズム / 戸田方程式 / 離散可積分系

Research Abstract

平成13年度は初年度として本科研費の援助のもとで,1件のパソコン購入,5件の研究発表と研究打ち合わせ国内出張を行い,主に,離散時間ロトカ・ボルテラ系の解の特異値への大域的収束性の証明に取り組んだ.これは,離散時間ロトカ・ボルテラ系は特異値への収束性が分かっているチューの力学系の離散化であるが,チューの力学系と同じ初期値からスタートすると差分間隔が大きくなるに従って正しい特異値との誤差が無視できなくなるためである.
まず,離散時間ロトカ・ボルテラ系の行列式解の表示式に基づきどのように初期値を補正すればよいかを解明した.具体的には,チューの力学系の収束性の証明が固有値への収束性がわかっている連続時間戸田方程式への変形にあることに注目し,離散時間ロトカ・ボルテラ系から離散時間戸田方程式へのベックルンド変換とラックス表示を利用して,離散時間ロトカ・ボルテラ系の初期値補正の仕方を明らかにしたものである.収束性の証明に離散可積分系の構造が本質的に用いられている.これにより,アルゴリズムの基本形が定式化された.
つぎに,戸田方程式を援用せずに直接的に離散時間ロトカ・ボルテラ系の解の特異値への収束性を示すため,力学系の中心多様体理論に基づいてチューの力学系の特異値への局所的収束性を確認した.一方で,離散時間ロトカ・ボルテラ系のハンケル行列式解の時間無限大での漸近挙動を解析し,差分間隔によらない,解のある定数への大域的収束性を示した.この二つの,結果を合わせることで,離散時間ロトカ・ボルテラ系の解の特異値への大域的収束性が証明できた.

Research Products

• [Publications] Y.Nakamura: "Algorithms associated with arithmetic, geometric and harmonic means and integrable systems"J. Comput. Appl. Math.. Vol.131. 161-171 (2001)
• [Publications] A.Mukaihira, Y.Nakamura: "Schur flow for orthogonal polynomials on the unit circle and its integrable discretization"J. Comput. Appl. Math.. Vol.139. 75-94 (2002)
• [Publications] Y.Minesaki, Y.Nakamura: "The discrete relativistic Toda molecule equation and a Pad\'e approximation algorithm"Numerical Algorithms. Vol.27. 219-235 (2001)
• [Publications] Y.Nakamura: "Continued fractions and integrable systems"Centre de Rech. Math. Proc. Lec. Notes. Vol.31. 153-163 (2001)
• [Publications] K.Kondo, Y.Nakamura: "Determinantal solutions of solvable chaotic systems"J. Comput. AppI. Math.. (to appear).
• [Publications] S.Tsujimoto, Y.Nakamura, M.Iwasaki: "Discrete Lotka-Volterra system computes singular values"lnverse Problems. Vol.17. 53-58 (2001)