複雑集合の内と外のポテンシャル解析

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13874023
• Research Category: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• Research Institution: Shimane University
• Principal Investigator: 相川 弘明 島根大学, 総合理工学部, 教授 (20137889)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (90234509) ; 杉江 実郎 島根大学, 総合理工学部, 教授 (40196720) ; 山崎 稀嗣 島根大学, 総合理工学部, 教授 (70032935)
• Keywords: Dirichlet解 / 調和関数 / John領域 / Martin境界 / 非線形方程式 / Lienard系 / 確率過程 / ベゾフ空間

Research Abstract

・境界上のHolder連続な関数のDirichlet解がHolder連続になる条件を研究した。特にLipschitz連続性を保存する領域が存在しないことを示した.そのために,境界の一様完全性と調和測度の減衰状況の比較を行った.また,John領域のMartin境界を研究し,John定数によって,位相的境界点上の極小Martin点の数が評価できることを示した.さらに,John定数が十分大きければ極小点の数は1か2であり,凸集合の和で表される領域について極小点の数が1となる条件を与えた.(相川)
・Lienard力学系において,ホモクリニック軌道が極限集合になるための条件を研究するとともに平衡点におけるglobal attractivityとglobal weak attractivityの関係を明確にした。また,各種方程式の解の振動問題を議論した。まず,Euler型2階非線形微分方程式や減衰係数を持つ2階非線形微分方程式に対する振動定理及び非振動定理を証明し,未解決として残されていた微妙な場合にも完全な解答を与えた。その応用として,自己随伴方程式に関する振動定数問題を研究するとともに,半線形楕円型方程式やSchrodinger方程式の正値解の存在を保証する条件を求めた。(杉江)
・フラクタル上の対称な確率過程から決まるディリクレ形式の定義域が、多くの場合ベソフ空間と呼ばれる関数空間となることを証明した。その応用として、フラクタルにしみ込む拡散過程を構成し基本的な性質を調べた。(熊谷)

Research Products

• [Publications] H.Aikawa: "Holder continuity of Dirichlet solution for a general domain"Bull. London Math. Soc.. (to appear).
• [Publications] J.Sugie, K.Kita: "Oscillation criteria for second order nonlinear differential equations of Euler type"J. Math. Anal. Appl.. 253. 414-439 (2001)
• [Publications] J.Sugie: "Lienard dynamics with an open limit orbit"NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl.. 8. 83-97 (2001)
• [Publications] J.Sugie: "A nonoscillation theorem for second order nonlinear differential equations with decaying coefficients"Bull. London Math. Soc.. 33. 299-308 (2001)
• [Publications] J.Sugie, N.Yamada, Y.Obata: "Nonoscillation theorems for a nonlinear self-adjoint differential equation"Nonlinear Anal.. 47. 4433-4444 (2001)
• [Publications] J.Sugie, N.Yamada: "An infinite sequence of nonoscillation theorems for second order nonlinear differential equations of Euler type"Nonlinear Anal.. (to appear).
• [Publications] J.Sugie, K.Kita, N.Yamaoka: "Oscillation constant of second order nonlinear self-adjoint differential equations"Ann. Mat. Pura Appl.. (to appear).
• [Publications] J.Sugie, N.Yamaoka: "Applications of phase plane analysis of a Lienard system to positive solutions of Schrodinger equations"Proc. Amer. Math. Soc.. (to appear).
• [Publications] J.Sugie, N.Yamaoka: "Nonoscillation theorems for second order nonlinear differential differential equations of Euler type"数理解析研究所講究録. 1216. 224-235 (2001)
• [Publications] B.M.Hambly, T.Kumagai: "Fluctuation of the transition density for Brownian motion on random recursive Sierpinski gasket"Stoch. Proc. Appl.. 92. 61-85 (2001)
• [Publications] M.T.Barlow, T.Kumagai: "Transition density asymptotics for some diffusion processes with multi-fractal structures"Electronic Journal of Probability. 6. 1-23 (2001)
• [Publications] T.Kumagai: "Construction of diffusion processes penetrating fractals -An application of the theory of Besov spaces -"数理解析研究所講究録. 1235. 91-114 (2001)
• [Publications] R.F.Bass, T.Kumagai: "Laws of the iterated logarithm for the range of random walks in two and three dimensions"Ann. Probab.. (to appear).
• [Publications] B.M.Hambly, J.Kigami, T.Kumagai: "Multifractal formalisms for the local spectral and walk dimensions"Maths. Proc. Cam. Phil. Soc.. (to appear).
• [Publications] B.M.Hambly, T.Kumagai: "Asymptotics for the spectral and walk dimension as fractals approach Euclidean space"Fractals. (to appear).
• [Publications] T.Kumagai: "Some remarks for jump processes on fractals"Proc. of the Conference held in Graz. (to appear). (2001)