複雑集合の内と外のポテンシャル解析

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13874023
• Research Institution: Shimane University
• Principal Investigator: 相川 弘明 島根大学, 総合理工学部, 教授 (20137889)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (90234509) ; 杉江 実郎 島根大学, 総合理工学部, 教授 (40196720) ; 山崎 稀嗣 島根大学, 総合理工学部, 教授 (70032935)
• Keywords: Denjoy領域 / Martin境界 / 調和関数 / John領域 / 一様領域 / 境界Harnack原理 / 容量密度条件 / Besov空間

Research Abstract

・Denjoy領域とはその境界が一つの超平面内にのみある領域をいうが,境界が超平面内にあるという条件を緩めて,グラフで挟まれた領域に含まれるときDenjoy型領域と呼ぼう.Denjoy型領域のMartin境界はDenjoy領域に比べて,はるかに複雑になってしまうが,有限位数の正調和関数に限ればDenjoy領域と類似した結果が成立することを示した.
・境界が容量密度条件を満たすという仮定の基で,John領域や一様領域,一様John領域の特徴付けを行った.John領域のための必要十分条件は調和測度の下からの評価が成立する事であり,一様領域のための必要十分条件はそれに加えて一様な境界Harnack原理が成立することであることを示した.また一様John領域は対応する一様境界Harnack原理で特徴づけられることを示した.
・Besov空間上に自然に定義される作用素に対する精密な解析を行うとともに,その熱方程式の基本解の精密な評価を行った.

Research Products

• [Publications] H.Aikawa: "Holder continuity of the Dirichlet solution for a general domain"Bull. London Math. Soc.. 34. 691-702 (2002)
• [Publications] H.Aikawa, K.Hirata, T.Lund: "Martin boundary for union of convex sets"数理解析研究所講究録「ポテンシャル論とその周辺」. 1293. 1-14 (2002)
• [Publications] 相川弘明: "複雑領域のMartin境界と境界Harnack原理"数学. 55. 1-19 (2003)
• [Publications] H.Aikawa, T.Lundh, T.Mizutani: "Martin boundary of a fractal domain"Potential Anal.. (to appear). (2003)
• [Publications] H.Aikawa: "Positive harmonic functions of finite order in a Denjoy type domain"Proc. Amer. Math. Soc.. (to appear). (2003)
• [Publications] B.M.Hambly, T.Kumagal: "Asymptotics for the spectral and walk dimension as fractals approach Euclidean space"Fractals. 10. 403-412 (2002)
• [Publications] R.F.Bass, T.Kumagai: "Laws of the iterated logarithm for the range of random walks in two and three dimensions"Ann. Probab.. 30. 1369-1396 (2002)
• [Publications] B.M.Hambly, J.Kigami, T.Kumagai: "Multifractal formalisms for the local spectral and walk dimensions"Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.. 132. 555-571 (2002)
• [Publications] T.Kumagai: "Function spaces and stochastic processes on fractals"数理解析研究所講究録. 1293. 42-54 (2002)
• [Publications] B.M.Hambly, T.Kumagai: "Heat kernel estimates for symmetric random walks on a class of fractal graphs and stability under rough isometries"Proc. of Symposia in Pure Math. (AMS). (to appear). (2003)
• [Publications] 相川弘明(編集): "数理解析研究所講究録「ポテンシャル論とその周辺」1293"京都大学数理解析研究所. 198 (2002)
• [Publications] 熊谷 隆: "確率論"共立出版. 224 (2003)