| Research Abstract |
リーマン幾何における崩壊現象の研究でも,平坦なリーマン多様体をモデルとする比較定理が基本的な役割を果たした.そのため.今年度は,申請書において挙げた研究目的のうちの一つ,ネイエンハイステンソルのノルムが幾らでも小さくなる偏極概ケーラー構造を許容するコンパクト多様体の構造定理を確立すること,に努力を集中し,現在,次の形の定理が成り立つであろうと考えている.:『コンパクト概複素多様体上の概複素エルミート直線束が,充分に正で(概複素直線束の全空間の)ネイエンハイステンソルのノルムが充分小さければ,それは,射影代数多様体上の正則直線束と微分同相になる』
証明は,与えられた多様体上で,概複素構造を,積分可能なものへ逐次近似してゆくことによる.そのために,まず,概複素直線束の正則に近い切断を,多数構成する.この切断のうち,直線束の全空間の次元個をJ-正則にするような概複素構造を測度0の集合を除いたところで構成し,それら全てを軟化・平均化することにより,次の概複素構造を定義してゆく.
定理の定式化および証明の中で,概ケーラー構造に固執しない方が自然であるという認識に達した.すなわち,固定したシンプレクティック構造と両立する概複素構造のみを考えるのではなく,そこから少しずれたものも考えて行く方が良い.なお,定理のなかで,「充分正』,『充分小さい』としたが,どの様な量に対して「充分』であればよいのか,どの程度が最善なのか,まだ改善と検討の余地がある.現在の形でも,コンパクトケーラー多様体の複素構造の変形への応用が考えられるが,目的である概複素構造の崩壊現象の研究の立場からは,まだ不十分である.定量的な改良や,底空間を固定し偏極を様々に動かした場合の考察は,次年度の課題としたい.
|
