摂動型波動方程式に対する重みつき時空評価に関する研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14740114
• Research Institution: Shizuoka University
• Principal Investigator: 久保 英夫 静岡大学, 工学部, 助教授 (50283346)
• Keywords: 波動方程式 / ポテンシャル / 時空評価

Research Abstract

本研究の目的は,粒子の運動を記述する方程式に関するものであり,場の摂動による効果がその運動にどのような影響を及ぼすかを調べようとするものである.その際,対象とする粒子が質量を持つか否かによって,その解析は大きく異なることが明確になってきた.
まず,質量を持たない場合には,摂動項の影響が無限遠方では完全に無視できるという仮定のもとで,摂動項がない場合と同様の各点評価を導くことができた.これを示すためのアイディアは,シュレディンガー作用素に対応する固有関数展開を用いて,具体的な解の表示式を得ることである.なお,得られた各点評価は非線型問題への応用も可能である.この結果を導くにあたっては,ピサ大学のV.Georgiev氏から頂いた示唆による部分が少なくない.ただし,上の摂動項に対する仮定は強すぎるという問題点が残されている.たとえば,ある意味で典型例ともいえるクーロン力を扱うことはできない.
一方,粒子が質量を持つ場合には,適当なルベーグ空間において解の評価を行わなければいけない.これについて,上と同様のアイディアを用い,摂動項にはそれ程強い条件を課すこと無く,微分の損失を含む形で評価を得ることができた.しかしながら,そのようなロスがあるため,非線型問題への応用は今のところ成功していない.摂動項がない場合には,方程式のローレンツ不変性があからさまに役に立つのだが,一般の場合にはそれが陰に隠れてしまいシャープな評価が得られないのである.
現段階では不明な点が多々あるが,今後の2年間で更なる進展を図るべく最善を尽くす所存である.