2014 Fiscal Year Annual Research Report
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14J04154
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
佐藤 龍一 東北大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2014-04-25 – 2017-03-31
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| Keywords | 拡散方程式 / 非線形境界条件 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の主題は拡散方程式と非線形境界条件の研究を行うことである．
具体的には初期値の局所的な特異性と解の存在時間との関係を明らかにすることを目標に研究を行った．一般的に非線形偏微分方程式の解は時間無限大まで存在するとは限らない．非負値の初期値を与えたベキ乗型の非線形項を持つ半線形拡散方程式では，有限時間で解の最大値が無限大に発散してしまう場合がある．これは解の爆発現象と呼ばれ，これまで多くの研究者により，広く研究されてきた．
解の爆発現象については非線形境界条件付きの拡散方程式に対しても行われているが，どのような初期値に対して時間大域解が存在するか，もしくは初期値に対してどのくらいの時刻まで解が存在するか，また，解の存在時間を初期値のどのような量で評価できるか，という研究はほとんどなされていなかったと思われる．さらには非線形項があることから，初期値の特異性は解の存在時間に大きく関与すると考える事ができる．
本研究では，初期値の特異性と解の存在時間の関係を明らかにするために，ある意味で初期値の特異性を表すような空間を導入し，その空間での解の存在を証明した上で解の存在時間を初期値で評価することにした．解の存在時間が初期値によってどのように評価されるかという視点を反映した上で解の存在を証明することにより，解の最大存在時間の評価や解のノルムが無限大に発散する速さの評価を得ることもできる．このように様々な評価を得る事ができたのは，初期値の特異性と解の存在時間をうまく関連づけることができたことによると思われる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の研究成果を論文にまとめ，投稿中である．これは研究の達成度としては順調なものと言えるから．
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度に得られた研究成果をもとに，当初の研究計画に沿って研究を進める予定である．
具体的には，空間遠方で増大する初期値を扱う問題の解決，非線形拡散方程式の問題に取り組む予定である．
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